Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра → Бином Ньютона ↓


Треугольник Паскаля


В мире математики одним из самых интересных и увлекательных инструментов является треугольник Паскаля. Он служит замечательной основой, особенно в связи с биномиальной теоремой. Давайте углубимся в этот треугольный массив чисел и посмотрим, как он предоставляет простой способ для разложения биномиалов. Чтобы начать наше путешествие, мы изучим, что такое треугольник Паскаля, как он строится и как он связан с биномиальной теоремой.

Что такое треугольник Паскаля?

Треугольник Паскаля — это треугольный массив чисел, где каждое число представляет собой сумму двух чисел, находящихся непосредственно над ним. Названный в честь французского математика Блеза Паскаля, это расположение первоначально появилось в различных культурах намного раньше в истории, таких как китайская и индийская математика. Каждая строка в треугольнике Паскаля соответствует коэффициентам разложения биномиального выражения.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля прост в построении. Начните с "1" наверху, известного как строка 0. Каждое число находится путем сложения двух чисел, находящихся непосредственно над ним. Если нет числа непосредственно над ним, считайте его равным нулю. Вот как построить треугольник до пятой строки:

                  1 (строка 0)
                 1 1 (строка 1)
                1 2 1 (строка 2)
               1 3 3 1 (строка 3)
              1 4 6 4 1 (строка 4)
             1 5 10 10 5 1 (строка 5)
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Связь с биномиальной теоремой

Треугольник Паскаля — это не просто красивая расстановка чисел; у него есть глубокая связь с биномиальной теоремой. Биномиальная теорема предоставляет формулу для разложения биномиалов в степени. Она гласит:

    (a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 + ... + C(n, n)a0bn

Где C(n, k) — это биномиальные коэффициенты, которые являются числами, найденными в n-й строке треугольника Паскаля. Давайте разберем это на примере.

Пример: разложение (x + y)3

Для n=3 используйте четвертую строку треугольника Паскаля (поскольку мы начинаем отсчет с нуля): 1, 3, 3, 1.

    (x + y)3 = 1*x3y0 + 3*x2y1 + 3*x1y2 + 1*x0y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Коэффициент каждого член соответствует числу в строке, а сумма степеней x и y равна номеру строки.

Понимание биномиальных коэффициентов

Биномиальный коэффициент C(n, k) также может быть рассчитан с помощью формулы:

    C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

где "!" означает факториал. Например:

    C(4, 2) = 4! / (2!*2!) = 24 / 4 = 6

Эти коэффициенты — те же самые числа, которые вы находите в треугольнике Паскаля, что еще раз подтверждает связь.

Еще один пример: разложение (x + y)4

Теперь разложите (x + y)4 с использованием пятой строки 1, 4, 6, 4, 1 треугольника Паскаля.

    (x + y)4 = 1*x4y0 + 4*x3y1 + 6*x2y2 + 4*x1y3 + 1*x0y4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Коэффициенты точно совпадают с коэффициентами треугольника Паскаля.

Свойства треугольника Паскаля

У треугольника Паскаля есть много интересных свойств, которые делают его захватывающим математическим инструментом.

  • Симметрия: Каждая строка является симметричной. Это означает, что числа одинаковы справа налево и слева направо.
  • Сумма строк: Сумма чисел в n-й строке равна 2n.
  • Диагональные узоры: Другие интересные числовые узоры возникают, когда мы движемся по диагонали от вершины, такие как треугольные числа.
  • Натуральные числа: Первая диагональ чисел, прямая по краю, — это натуральные числа.

Практические приложения

Помимо своей роли в алгебре, треугольник Паскаля также находит применение в теории вероятностей, комбинаторике и даже в алгоритмах компьютерных наук.

  • Комбинаторика: Треугольник Паскаля тесно связан с комбинациями — количеством способов выбрать k элементов из группы n элементов.
  • Вероятность: Он помогает в расчете коэффициентов исходов в биномиальном распределении.
  • Последовательность Фибоначчи: Диагонали треугольника Паскаля могут быть использованы для нахождения чисел Фибоначчи.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

Резюме

Вкратце, треугольник Паскаля — это не просто набор чисел. Через свою структуру он обеспечивает последовательность и точность в математических расчетах и делает сложные алгебраические разложения простыми для понимания. Соединяя точки между треугольником Паскаля и биномиальной теоремой, мы видим, как закономерности и математика глубоко переплетены.

Треугольник является примером того, как простое правило — каждое число как сумма двух выше — может раскрыть сложные математические свойства и помочь решить сложные алгебраические выражения. Будь то разложение биномиалов, углубление в теорию вероятностей или изучение комбинаторики, треугольник Паскаля остается краеугольным камнем. Через практику, изучение и расчеты чудеса и применения треугольника Паскаля становятся очевидными, делая его основным инструментом в математическом арсенале.


Класс 11 → 1.3.5


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.3.4)
Применения биномиальной теоремы
следующая (2) →
Функции и графики

комментарии 



Треугольник Паскаля

https://www.buddymath.com/g11/1.3.5?bmal=ru