Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра → Бином Ньютона ↓


Применения биномиальной теоремы


Биномиальная теорема — это мощный инструмент в алгебре, который позволяет нам раскладывать выражения, возведенные в степень. Ее применения разнообразны и широки, что делает ее универсальным инструментом в математике. В этой статье мы изучим различные применения биномиальной теоремы, предоставляя подробные объяснения, примеры и визуальные пособия для улучшения понимания. Наша цель — показать, как биномиальная теорема может быть применена в различных контекстах, от простых алгебраических разложений до более сложных задач в теории вероятностей и за ее пределами.

Понимание биномиальной теоремы

Прежде чем перейти к применениям, начнем с понимания сути биномиальной теоремы. Биномиальная теорема предоставляет формулу для разложения выражений, возведенных в степень, обычно в форме (a + b) n. Разложение этого выражения дается как:

(a + b) n = Σ (n choose k) a nk b k

Здесь Σ обозначает сумму по различным значениям k от 0 до n. Термин (n choose k), также известный как биномиальный коэффициент, вычисляется как:

(choose nk) = n! / (k!(nk)!)

Визуализация биномиального разложения

Просмотр разложения часто помогает понять, как формируются члены. Ниже приведена визуальная репрезентация того, как формируются члены биномиального разложения для выражения (a + b) 3:

a 3 (when k = 0) 3a 2 b (when k=1) 3ab 2 (when k=2) b 3 (when k = 3)

Это дает нам разложение:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Применения в алгебраических разложениях

Одним из основных применений биномиальной теоремы является алгебраическое разложение. Предположим, вам нужно разложить выражение, такое как (x + y) 4. Вычисление каждого члена вручную было бы утомительным. Вместо этого биномиальная теорема позволяет быстро и эффективно разложить его. Рассмотрим пример:

Пример:

Разложите выражение (x + y) 4.

Решение:

Использование биномиальной теоремы:

(x + y) 4 = Σ (4 choose k) x 4 − k y k для k от 0 до 4.

Вычисление каждого члена:

  • Для k=0: (4 choose 0) x 4 = 1 * x 4 = x 4
  • Для k=1: (4 choose 1) x 3 y = 4 * x 3 y
  • Для k=2: (4 choose 2) x 2 y 2 = 6 * x 2 y 2
  • Для k=3: (4 choose 3) xy 3 = 4 * xy 3
  • Для k=4: (4 choose 4) y 4 = 1 * y 4 = y 4

Следовательно, разложение будет:

(x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4

Применения в теории вероятностей

Биномиальная теорема также широко используется в теории вероятностей, особенно с биномиальным распределением. Биномиальное распределение моделирует результаты, где есть два возможных исхода, например, бросок монеты, которые повторяются независимо для определенного числа испытаний.

Пример:

Предположим, что у вас есть честная монета, и вы хотите найти вероятность выпадения орла ровно 2 раза из 3 бросков.

Решение:

Это задача на биномиальную вероятность. Биномиальная теорема может помочь вычислить вероятности различных исходов. Вероятность k успехов (орла) в n независимых испытаниях Бернулли (бросках) дается как:

P(X = k) = (choose nk) p k (1-p) nk

где p — вероятность успеха в одном испытании. Для честной монеты, p = 0.5, n = 3, и k = 2.

P(X = 2) = (3 choose 2) (0.5) 2 (1-0.5) 3-2

Дальнейшие вычисления:

  • (3 choose 2) = 3
  • (0.5) 2 = 0.25
  • (0.5) 1 = 0.5
  • Собираем все вместе: P(X = 2) = 3 * 0.25 * 0.5 = 0.375

Таким образом, вероятность выпадения орла ровно 2 раза из 3 бросков составляет 0.375 или 37.5%.

Применения в математическом анализе

Биномиальная теорема также используется в математическом анализе, особенно в разработке разложений в ряды. В то время как более общее биномиальное разложение применяется, когда степень является положительным целым числом, математический анализ расширяет его на нецелые степени. Это приводит к появлению биномиальных рядов, которые полезны в приближениях и вычислении пределов и интегралов.

В заключение, биномиальная теорема является чрезвычайно ценным инструментом в математике, предлагающим применения в алгебре, математическом анализе, теории вероятностей и за их пределами. Осваивая биномиальную теорему, вы приобретаете навыки для решения широкого круга математических проблем, делая ее основополагающей частью математического обучения и приложения. Как мы увидели, независимо от того, идет ли речь о вычислении вероятностей, разложении алгебраических выражений или помощи в математическом анализе, теорема предоставляет структурированный и эффективный способ решения задач, связанных со степенями и коэффициентами.


Класс 11 → 1.3.4


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.3.3)
Биномиальный коэффициент
следующая (1.3.5) →
Треугольник Паскаля

комментарии 



Применения биномиальной теоремы

https://www.buddymath.com/g11/1.3.4?bmal=ru