11年生
  1. 代数  1.1. 代数における数列と級数の理解  1.1.1. 等差数列の理解  1.1.2. 等差数列  1.1.3. 幾何数列の理解  1.1.4. 等比数列を理解する  1.1.5. 収束と発散  1.1.6. 代数学における「無限への和」を理解する  1.1.7. シグマ記法  1.2. 複素数  1.2.1. 虚数と複素数の理解  1.2.2. 複素数の演算  1.2.3. 複素数の極形式とデカルト形式  1.2.4. 複素数の共役  1.2.5. 絶対値と偏角  1.2.6. ド・モアブルの定理  1.2.7. 複素数の冪乗と根  1.3. 二項定理  1.3.1. 二項式の展開  1.3.2. 二項定理の一般的な用語  1.3.3. 二項係数  1.3.4. 二項定理の応用  1.3.5. パスカルの三角形
  2. 関数とグラフ  2.1. タスクのタイプ  2.1.1. 多項式関数  2.1.2. 有理関数  2.1.3. 指数関数  2.1.4. 対数関数  2.1.5. 三角関数  2.1.6. 断片的な作業  2.2. 関数の変換  2.2.1. 変換  2.2.2. 関数の変換における反射の理解  2.2.3. ストレッチとストレッチ  2.2.4. 関数とグラフにおける回転の理解  2.3. 逆関数  2.3.1. 逆を見つける  2.3.2. 逆関数のグラフ  2.3.3. 逆関数の性質  2.3.4. 逆関数の制限
  3. 三角法  3.1. 三角比と恒等式  3.1.1. 基本的な三角比  3.1.2. 三角法におけるピタゴラスの恒等式の理解  3.1.3. 和差公式  3.1.4. 二倍角の公式  3.1.5. 三角法における半角公式の理解  3.1.6. 積和公式と和積公式  3.2. 三角方程式  3.2.1. 三角方程を解く  3.2.2. 三角方程式における一般解  3.3. 三角関数のグラフ  3.3.1. 正弦グラフ  3.3.2. コサイングラフの理解  3.3.3. 正接グラフ  3.3.4. 振幅と期間の調整  3.3.5. 三角関数のグラフにおける位相変化  3.4. 三角法の応用  3.4.1. 正弦定理と余弦定理  3.4.2. 三角形の面積  3.4.3. 三角形の解法  3.4.4. ベアリングとナビゲーション
  4. 微分積分学入門  4.1. 微積分における限界と連続体の理解  4.1.1. 極限の概念  4.1.2. 一方の極限  4.1.3. 無限の極限を理解する  4.1.4. 関数の連続性  4.1.5. 不連続性の種類  4.2. 差別化  4.2.1. 導関数の定義  4.2.2. 微分の規則  4.2.3. 高次導関数  4.2.4. 連鎖律  4.2.5. 積の法則  4.2.6. 微分法における商の法則の理解  4.3. 微分の応用  4.3.1. 変化率  4.3.2. 接線と法線  4.3.3. 最大値と最小値  4.3.4. 増加関数と減少関数の理解  4.3.5. 最適化問題  4.3.6. 曲線をグラフ化する  4.3.7. 微分の応用における関連レート  4.4. 積分とは何ですか？  4.4.1. 不定積分  4.4.2. 不定積分  4.4.3. 定積分  4.4.4. 微分積分学の基本定理  4.4.5. 積分の技法  4.4.6. 積分における曲線の下の面積の理解  4.5. 積分の応用  4.5.1. 曲線間の面積  4.5.2. 回転体の体積  4.5.3. 微積分での関数の平均値を理解する
  5. ベクトルと行列  5.1. ベクトル  5.1.1. 紹介  5.1.2. ベクトルの演算  5.1.3. 内積の理解  5.1.4. クロス積  5.1.5. 幾何学における応用  5.1.6. ベクトルの射影  5.2. 行列  5.2.1. 行列の種類  5.2.2. 行列演算の理解  5.2.3. 行列式  5.2.4. 行列の逆行列  5.2.5. 線形方程式系の解法  5.2.6. クラメルの定理
  6. 確率と統計  6.1. 数学における確率の理解  6.1.1. 基本的な確率の概念  6.1.2. 条件付き確率  6.1.3. 確率における独立事象と従属事象の紹介  6.1.4. ベイズの定理  6.1.5. 組合せ確率  6.2. 確率変数  6.2.1. 離散確率変数  6.2.2. 連続確率変数  6.2.3. 確率分布  6.3. 確率分布  6.3.1. 二項分布を理解する  6.3.2. 正規分布  6.3.3. ポアソン分布  6.3.4. 均等な分布  6.4. 図  6.4.1. 代表値の尺度  6.4.2. 散布度の測定  6.4.3. データ収集と表現  6.4.4. 相関と回帰  6.4.5. サンプリング技術
  7. 座標幾何  7.1. 座標幾何学における直線  7.1.1. 座標幾何学における傾きと切片の形式  7.1.2. 直線の距離公式  7.1.3. 座標幾何における中点公式の理解  7.1.4. 線間の角度  7.1.5. 直線の方程式  7.2. 円錐曲線  7.2.1. 円  7.2.2. 放物線の紹介  7.2.3. 円錐曲線における楕円  7.2.4. 円錐曲線における双曲線の理解  7.2.5. 円錐の特性  7.2.6. 円錐曲線のパラメトリック方程式  7.2.7. 円錐曲線の極座標
  8. 算術論理  8.1. 数学的論理における論理の紹介  8.1.1. 文と論理結合子  8.1.2. 真理値表  8.1.3. 論理的同値  8.1.4. 数学論理における論理の量化子  8.1.5. 証明技法  8.2. 数学的論理における証明の理解  8.2.1. 直接証拠  8.2.2. 間接的証明  8.2.3. 背理法の理解  8.2.4. 数学的帰納法による証明

11年生 → 代数 → 二項定理 ↓


二項定理の一般的な用語


二項定理は、指数を持つ式を展開することを可能にする代数学の強力なツールです。特に、次のような式を扱います。

(a + b) n

大きなべき乗への式の展開を手作業で行うのは厄介であり、二項定理はこの作業を公式で体系的に行う方法を提供します。

二項定理は次のように述べています。

(a + b) n = Σ (n choose k) a n-k b k, k = 0 to n

ここで「Σ」は、0からnまでの各整数kの項の和を表し、「(n choose k)」は二項係数です。

二項係数の理解

二項係数は(n choose k)として表され、順序に関係なくn個の要素からk個の要素を選ぶ方法の数を示します。それは次の公式で与えられます。

(n choose k) = n! / (k!(n-k)!)

ここで「!」は階乗を表し、その数までのすべての正の整数の積です。

例を見てみましょう。

もしn = 5でk = 2ならば：

(5 choose 2) = 5! / (2!(5-2)!) = (5x4x3x2x1) / (2x1x3x2x1) = 10

これは、5個の要素から2個の要素を選ぶ方法が10通りあることを意味します。

二項展開の一般項

一般項を見つける目的は、二項式の展開において特定の項を特定することです。高べきに引き上げられた二項式がある場合、項を見つけるためだけに全体を展開する必要はありません。一般項はそのような場合に役立ちます。

二項展開(a + b) nの一般項は次のように与えられます。

T k+1 = (n choose k) a n-k b k

ここで、T k+1は(k + 1)th項を示します。kのインデックスが二項係数およびaとbのべきにどのように使用されているかに注意してください。

共通する項がどう導出され使用されるかを理解するには、以下を考えてみてください。

If (a + b) n is being expanded and you want to know the fourth term.

一般項の公式を使用してください。

For the fourth term, k = 3 (since indices start from 0).
T 4 = (choose n 3) A n-3 B 3

特定の値を入力することで、特定の単語を得ることができます。

例 1: 特定の単語を見つける

(x + y) 8の展開における5番目の項を求めたいとします。

  1. n = 8およびk = 4を識別します。なぜなら探している項は5番目oneです。
  2. 一般項公式を適用します。
    3. T 5 = (8 choose 4) x 8-4 y 4
  3. 二項係数を計算します。
    4. (8 choose 4) = 8! / (4!4!) = 70
  4. したがって、5番目の項は。
    5. T 5 = 70 x 4 y 4

詳細を表示する単語

t1 = n T 2 = (choose n 1) A n-1 B 1 T 3 = (choose n 2) a n-2 b 2 , T r = (choose n r-1) A n-r+1 B r-1 t n+1 = b n

上の図は、展開における各項T k+1が線に沿って順番に表されていることを示しています。円の大きさは項の係数を視覚的に表現できます。

練習問題

学んだことを用いていくつかの練習問題を解いてみましょう。

問題 1

(2x - y) 10の7番目の項を見つけてください。

  1. 一般項を使用します：T k+1 = (n choose k) a n-k b k。
  2. n = 10、a = 2x、b = -y、k = 6を特定します7番目の項の場合。
  3. 二項項を計算します。
    4. (10 choose 6) = 210
  4. 一般項の公式に代入します。
    5. T 7 = 210 * (2x) 4 *(-y) 6
  5. 単語を簡略化します。
    6. T 7 = 210 * 16x 4 * y 6 * (-1)
T 7 = -3360x 4 y 6
  6. 展開の7番目の項は-3360x 4 y 6です。

問題 2

(x + 3) 8の展開におけるx 5の係数は何ですか？

  1. 一般項T k+1 = (8 choose k) a 8-k b kを使用します。
  2. x 5の係数を見つけるために8-k = 5と置きk = 3にします。
  3. 二項係数を計算します。
    4. (8 choose 3) = 56
  4. 公式を適用します。
    5. T 4 = 56 * x 5 * 3 3
T 4 = 56 * x 5 * 27
  5. 係数を求めます。
    6. Coefficient = 1512
  6. したがって、(x + 3) 8におけるx 5の係数は1512です。

重要な見識と結論

二項定理における一般項の概念は、二項式の展開において特定の項を明示的かつ効率的に特定する方法を提供し、全体の式を展開する必要がありません。二項定理の強さは、その数学的な美しさだけでなく、代数、微積分学、その他幅広い用途にあります。

特定の項を見つける方法と二項係数の役割を理解することにより、複雑な問題を単純化し、数学的パターンに洞察を与える重要な代数の道具を手に入れることができます。これは数学と科学のより深い研究の基盤を築くのに役立ちます。


11年生 → 1.3.2


U
username
0%
完了までの時間 11年生

← 前 (1.3.1)
二項式の展開
次へ (1.3.3) →
二項係数

コメント 



二項定理の一般的な用語

https://www.buddymath.com/g11/1.3.2?bmal=ja