द्विपद प्रमेय में सामान्य शब्द

द्विपद प्रमेय बीजगणित में एक शक्तिशाली उपकरण है जो हमें घातांक तक उठाए गए अभिव्यक्तियों का प्रसार करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यह निम्नलिखित प्रकार की अभिव्यक्तियों से संबंधित है:

(a + b) n

यदि हम ऐसे अभिव्यक्तियों को उच्च घातांक तक हाथ से विस्तारित करना चाहें, तो यह कठिन होगा, और द्विपद प्रमेय इसे एक सूत्र के साथ व्यवस्थित तरीके से करने का साधन प्रदान करता है।

द्विपद प्रमेय कहता है कि:

(a + b) n = Σ (n choose k) a n-k b k, k = 0 से n तक

जहां "Σ" 0 से n तक हर पूर्णांक k के पदों के योग को संदर्भित करता है, और "(n choose k)" एक द्विपद गुणांक है।

द्विपद गुणांकों को समझना

द्विपद गुणांक, जिसे (n choose k) के रूप में दर्शाया गया है, k तत्वों को n तत्वों के समूह से चुनने के तरीकों की संख्या देता है, चाहे क्रम कोई भी हो। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

(n choose k) = n! / (k!(n-k)!)

यहां, "!" फैक्टोरियल का प्रतिनिधित्व करता है, जो उस संख्या तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।

आइए एक उदाहरण देखें:

यदि n = 5 और k = 2, तो:

(5 choose 2) = 5! / (2!(5-2)!) = (5x4x3x2x1) / (2x1x3x2x1) = 10

इसका अर्थ है कि 5 तत्वों के समूह से 2 तत्वों को चुनने के 10 तरीके हैं।

द्विपद प्रसार का सामान्य पद

सामान्य पद को खोजने का उद्देश्य द्विपद अभिव्यक्ति के प्रसार में किसी विशेष पद की पहचान करना है। यदि हमें उच्च घातांक वाला द्विपद अभिव्यक्ति दिया जाता है, तो केवल एक पद को खोजने के लिए पूरे अभिव्यक्ति का विस्तार करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है। सामान्य पद ऐसे मामलों में सहायक होता है।

द्विपद प्रसार (a + b) n का सामान्य पद इस प्रकार दिया गया है:

T k+1 = (n choose k) a n-k b k

यहां, T k+1 (k + 1)^वां पद को दर्शाता है। ध्यान दें कि कैसे सूचकांक k द्विपद गुणांकों और a और b की घाताओं में उपयोग किया जाता है।

समझें कि आम शब्द कैसे निकाला जाता है और इसका उपयोग कैसे होता है, विचार करें:

यदि (a + b) n का विस्तार किया जा रहा है और आप चौथे पद को जानना चाहते हैं।

आम पद का सूत्र आप उपयोग कर सकते हैं:

चौथे पद के लिए, k = 3 (क्योंकि सूचकांक 0 से शुरू होते हैं)।

T 4 = (choose n 3) A n-3 B 3

अपने विशेष मान दर्ज करके आप अपना पद ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 1: विशेष पदों को खोजना

मान लीजिए हम ^5वां पद (x + y) 8 के विस्तार में खोजना चाहते हैं।

1. पहचानें कि n = 8 और k = 4 क्योंकि जिस पद की हम खोज कर रहे हैं वह 5वां ^है।
2. सामान्य पद के सूत्र का अनुप्रयोग करें:

T 5 = (8 choose 4) x 8-4 y 4

3. द्विपद गुणांक की गणना करें:

(8 choose 4) = 8! / (4!4!) = 70

4. अतः ^5वां पद है:

T 5 = 70 x 4 y 4

शब्दों को विस्तार से देखना

_t1 = ⁿ T ₂ = (choose n 1) A ^n-1 B ¹ T ₃ = (choose n 2) a ^n-2 b ² , T _r = (choose n r-1) A ^n-r+1 B ^r-1 t _n+1 = b ⁿ

ऊपर का चित्र एक विस्तार दिखा रहा है जहां प्रत्येक पद T k+1 को सुसंगत रूप से एक लाइ न के साथ प्रदर्शित किया गया है। पदों में गुणांकों को दृश्य रूप से प्रस्तुत करने के लिए वृत्तों के आकार का उपयोग किया जा सकता है।

अभ्यास समस्याएँ

आइए कुछ अभ्यास समस्याओं का समाधान कर सीखा हुआ लागू करें।

समस्या 1

(2x - y) 10 का ^7वां पद ज्ञात करें।

1. सामान्य पद का उपयोग करें: T k+1 = (n choose k) a n-k b k.
2. पहचानें n = 10, a = 2x, b = -y, और k = 6 (7^वें पद के लिए)।
3. द्विपद पद की गणना करें:

(10 choose 6) = 210

4. सामान्य पद को सूत्र में डालें:

T 7 = 210 * (2x) 4 *(-y) 6

5. शब्दों को सरल करें:

T 7 = 210 * 16x 4 * y 6 * (-1)
T 7 = -3360x 4 y 6

6. विस्तार में -3360x 4 y ^{6 7वां} पद है।

समस्या 2

(x + 3) 8 के विस्तार में x 5 का गुणांक क्या है?

1. सामान्य पद T k+1 = (8 choose k) a 8-k b k का उपयोग करें।
2. हम x 5 के गुणांक की खोज कर रहे हैं। तो 8-k = 5 और k = 3 सेट करें।
3. द्विपद गुणांक की गणना करें:

(8 choose 3) = 56

4. सूत्र का अनुप्रयोग करें:

T 4 = 56 * x 5 * 3 3
T 4 = 56 * x 5 * 27

5. गुणांकों के लिए समाधान करें:

Coefficient = 1512

6. अतः (x + 3) 8 में x 5 का गुणांक 1512 है।

मुख्य अंतर्दृष्टि और निष्कर्ष

द्विपद प्रमेय में सामान्य पद की अवधारणा द्विपद अभिव्यक्ति के प्रसार में किसी भी विशिष्ट शब्द को चुनने का एक स्पष्ट और प्रभावी तरीका प्रदान करती है, बिना पूरे अभिव्यक्ति का विस्तार किए। द्विपद प्रमेय की शक्ति न केवल इसकी गणितीय सुंदरता में निहित है, बल्कि गणित, कैलकुलस, और उससे परे में इसके व्यापक अनुप्रयोगों में भी है।

किसी विशेष शब्द को कैसे खोजें और द्विपद गुणांकों की भूमिका को समझकर, आपको बीजगणित का एक महत्वपूर्ण उपकरण मिलता है जो जटिल समस्याओं को सरल कर सकता है और गणितीय पैटर्न में अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकता है। यह गणित और विज्ञान में आगे के अध्ययन के लिए एक ठोस नींव बनाने में मदद करता है।

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