Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра → Бином Ньютона ↓


Расширение бинома


В алгебре расширение бинома — это метод, используемый для раскрытия выражений, возведенных в степень или показатель степени. Бином — это алгебраическое выражение, которое имеет ровно два слагаемых. Эти элементы могут быть константами, переменными или их сочетанием. Биномиальная теорема предоставляет формулу, описывающую алгебраическое расширение степеней бинома.

Общая форма бинома, возведенного в степень, следующая:

(a + b) n

где a и b — это индивидуальные члены бинома, а n — неотрицательное целое число, представляющее степень или степени, в которые возводится бином.

Биномиальная теорема

Биномиальная теорема утверждает, что для любого положительного целого числа n выражение (a + b) n можно расширить следующим образом:

(a + b) n = C(n, 0) * a n * b 0 + C(n, 1) * a n-1 * b 1 + ... + C(n, n-1) * a 1 * b n-1 + C(n, n) * a 0 * b n

Или, более кратко:

(a + b) n = Σ (C(n, k) * a nk * b k ), где k варьируется от 0 до n

C(n, k) относится к биномиальному коэффициенту, который можно вычислить по следующей формуле:

C(n, k) = n! / (k!(nk)!)

где n! обозначает факториал n.

Понимание биномиальных коэффициентов

Важным аспектом расширения биномов является понимание биномиальных коэффициентов, которые определяют вес терминов в разложении. Биномиальные коэффициенты можно найти в треугольнике Паскаля, где каждая запись является суммой двух записей, находящихся сразу выше нее.

111121133114641

Каждая строка треугольника Паскаля соответствует коэффициентам расширенной формы для увеличивающихся степеней бинома. Например, третья строка представляет коэффициенты 1, 2, 1 (a + b) 2 и так далее.

Примеры расширения бинома

Чтобы лучше понять процесс расширения бинома, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Разверните (x + y) 3

Для разложения этого бинома мы используем формулу:

(x + y) 3 = C(3, 0) * x 3 * y 0 + C(3, 1) * x 2 * y 1 + C(3, 2) * x 1 * y 2 + C(3, 3) * x 0 * y 3

Из треугольника Паскаля или используя формулу биномиального коэффициента, мы получаем:

  • C(3, 0) = 1
  • C(3, 1) = 3
  • C(3, 2) = 3
  • C(3, 3) = 1

Подставляя эти коэффициенты в выражение, мы получаем:

(x + y) 3 = 1 * x 3 + 3 * x 2 * y + 3 * x * y 2 + 1 * y 3

Итак, расширенная форма:

x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
x 33x 2 y3xy 2y 3

Пример 2: Разверните (2a - 3b) 4

В этом примере обратите внимание на разницу в знаках между двумя терминами.

Формула следующая:

(2a - 3b) 4 = C(4, 0) * (2a) 4 * (-3b) 0 + C(4, 1) * (2a) 3 * (-3b) 1 + ... + C(4, 4) * (2a) 0 * (-3b) 4

Используя коэффициенты из треугольника Паскаля:

  • C(4, 0) = 1
  • C(4, 1) = 4
  • C(4, 2) = 6
  • C(4, 3) = 4
  • C(4, 4) = 1

Рассчитывая каждый член отдельно, получаем:

= 1 * (2a) 4 + 4 * (2a) 3 * (-3b) + 6 * (2a) 2 * (-3b) 2 + 4 * (2a) * (-3b) 3 + 1 * (-3b) 4

Оценивая их, получаем:

= 1 * 16a 4 - 96a 3 b + 216a 2 b 2 - 216ab 3 + 81b 4

Раскрытие выглядит следующим образом:

16a 4 - 96a 3 b + 216a 2 b 2 - 216ab 3 + 81b 4
16a 4-96a 3 b216a 2 b 2-216ab 381b 4

Важные соображения

При расширении биномов важно следить за знаками и коэффициентами, особенно когда речь идет о отрицательных числах. Сумма показателей степени каждого члена всегда должна быть n, сохраняя чередующийся порядок между a и b.

Больше практики

Попробуйте самостоятельно разложить некоторые биномиальные выражения для лучшего понимания:

  • (3x + 2y) 2
  • (5m - u) 3
  • (u+v) 4

Используйте биномиальную теорему в качестве руководства, рассчитывайте коэффициенты с помощью простой арифметики и тренируйтесь в правильном построении расширенных многочленов. Обратитесь к треугольнику Паскаля, если возникнут вопросы о биномиальных коэффициентах.

Заключение

Понимание расширения бинома является ключевым элементом в алгебре, демонстрирующим связи между членами, возведенными в степень, и показывающим закономерность коэффициентов, описываемую биномиальными коэффициентами. С практикой структура расширенных биномов становится проще для распознавания, а использование этого приводит к более широкому пониманию в полиномиальной математике.


Класс 11 → 1.3.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.3)
Бином Ньютона
следующая (1.3.2) →
Общие термины в биномиальной теореме

комментарии 



Расширение бинома

https://www.buddymath.com/g11/1.3.1?bmal=ru