Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Expansión de un binomio


En álgebra, expandir binomios es un método utilizado para expandir expresiones que están elevadas a una potencia o exponente. Un binomio es una expresión algebraica que tiene exactamente dos términos. Estos términos pueden ser constantes, variables o una mezcla de ambos. El teorema del binomio proporciona una fórmula que describe la expansión algebraica de las potencias de un binomio.

La forma general de un binomio elevado a una potencia es:

(a + b) n

donde a y b son términos individuales del binomio, y n es un número entero no negativo que representa la potencia a la que se eleva el binomio.

Teorema del binomio

El teorema del binomio establece que para cualquier número entero positivo n, la expresión (a + b) n se puede expandir de la siguiente manera:

(a + b) n = C(n, 0) * a n * b 0 + C(n, 1) * a n-1 * b 1 + ... + C(n, n-1) * a 1 * b n-1 + C(n, n) * a 0 * b n

O, de forma más concisa:

(a + b) n = Σ (C(n, k) * a n-k * b k ), donde k varía de 0 a n

C(n, k) se refiere al coeficiente binomial, que se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

donde n! denota el factorial de n.

Comprendiendo los coeficientes binomiales

Un aspecto importante de la expansión de binomios es entender los coeficientes binomiales, que determinan los pesos de los términos en la expansión. Los coeficientes binomiales se pueden encontrar en el triángulo de Pascal, un arreglo donde cada entrada es la suma de las dos entradas inmediatamente encima de ella.

111121133114641

Cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes de la forma expandida para las potencias crecientes del binomio. Por ejemplo, la tercera fila representa los coeficientes de 1, 2, 1 (a + b) 2, y así sucesivamente.

Ejemplos de expansión de binomios

Para comprender más claramente el proceso de expansión de binomios, veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Expandir (x + y) 3

Para expandir este binomio, usamos la fórmula:

(x + y) 3 = C(3, 0) * x 3 * y 0 + C(3, 1) * x 2 * y 1 + C(3, 2) * x 1 * y 2 + C(3, 3) * x 0 * y 3

Del triángulo de Pascal o usando la fórmula del coeficiente binomial, obtenemos:

  • C(3, 0) = 1
  • C(3, 1) = 3
  • C(3, 2) = 3
  • C(3, 3) = 1

Re-sustituyendo estos coeficientes en la expresión, obtenemos:

(x + y) 3 = 1 * x 3 + 3 * x 2 * y + 3 * x * y 2 + 1 * y 3

Entonces, la forma expandida es:

x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
x 33x 2 y3xy 2y 3

Ejemplo 2: Expandir (2a - 3b) 4

En este ejemplo, nota la diferencia de signos entre los dos términos.

La fórmula es la siguiente:

(2a - 3b) 4 = C(4, 0) * (2a) 4 * (-3b) 0 + C(4, 1) * (2a) 3 * (-3b) 1 + ... + C(4, 4) * (2a) 0 * (-3b) 4

Usando los coeficientes del triángulo de Pascal:

  • C(4, 0) = 1
  • C(4, 1) = 4
  • C(4, 2) = 6
  • C(4, 3) = 4
  • C(4, 4) = 1

Calculando cada término independientemente, obtenemos:

= 1 * (2a) 4 + 4 * (2a) 3 * (-3b) + 6 * (2a) 2 * (-3b) 2 + 4 * (2a) * (-3b) 3 + 1 * (-3b) 4

Evaluando estos términos, obtenemos:

= 1 * 16a 4 - 96a 3 b + 216a 2 b 2 - 216ab 3 + 81b 4

La expansión es la siguiente:

16a 4 - 96a 3 b + 216a 2 b 2 - 216ab 3 + 81b 4
16a 4-96a3b216a 2 b 2-216ab381b 4

Consideraciones importantes

Es importante tener en cuenta los signos y los coeficientes al expandir binomios, especialmente cuando se involucran números negativos. La suma de los exponentes de cada término siempre debe ser n, manteniendo el orden alternante entre a y b.

Más práctica

Intenta expandir algunos binomios tú mismo para una mejor comprensión:

  • (3x + 2y) 2
  • (5m - u) 3
  • (u + v) 4

Usa el teorema del binomio como tu guía, calcula los coeficientes con aritmética simple y practica construir polinomios expandidos con precisión. Consulta el triángulo de Pascal para preguntas sobre los coeficientes binomiales si es necesario.

Conclusión

Entender la expansión de binomios es un elemento central del álgebra que muestra las relaciones entre términos elevados a exponentes, mientras demuestra el patrón de coeficientes descrito por los coeficientes binomiales. Con práctica, la estructura de los binomios expandidos se vuelve más fácil de reconocer, y sacar provecho de esto lleva a una comprensión más amplia en las matemáticas de polinomios.


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Expansión de un binomio

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