Комплексные числа

Комплексные числа являются увлекательной и фундаментальной частью алгебры и математики. Они позволяют расширить наше понимание чисел за пределы вещественной числовой линии, предоставляя решения уравнений, которые не имеют вещественных решений. В этом всестороннем исследовании мы углубимся в понятие комплексных чисел, поймем их свойства, научимся выполнять арифметические операции с ними и, в конечном итоге, оценим их важность в различных областях математики.

Что такое комплексные числа?

В математике комплексное число — это число, которое может быть выражено как:

z = a + bi

Здесь:

• a — это действительная часть комплексного числа.
• bi — это мнимая часть комплексного числа.
• b — это вещественное число.
• i — это мнимая единица, удовлетворяющая следующему уравнению:

i 2 = -1

Действительная часть и мнимая часть являются вещественными числами, но наличие i превращает число в комплексное. Множество комплексных чисел часто обозначается как C

Комплексные числа часто изображаются как точки или векторы на двумерной плоскости, известной как комплексная плоскость. Действительная часть числа отображается на горизонтальной оси, а мнимая часть — на вертикальной оси.

Визуализация комплексных чисел

Давайте представим комплексное число z = 3 + 3i на комплексной плоскости:

Красная точка представляет комплексное число z = 3 + 3i. x координата (горизонтальная) — это действительная часть, а y координата (вертикальная) — это коэффициент i, который является мнимой частью.

Свойства комплексных чисел

Комплексные числа обладают несколькими уникальными свойствами:

• Равенство: Два комплексных числа равны, если и только если их действительные части равны и мнимые части равны. Например, a + bi = c + di тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
• Аддитивная идентичность: Комплексное число 0 + 0i является аддитивной идентичностью, то есть для любого комплексного числа z, z + 0 = z.
• Мультипликативная идентичность: Комплексное число 1 + 0i служит мультипликативной идентичностью, то есть для любого комплексного числа z, z × 1 = z.
• Аддитивная инверсия: Для комплексного числа z = a + bi аддитивная инверсия равна -z = -a - bi. Таким образом, z + (-z) = 0.
• Комплексное сопряжение: Комплексное сопряжение комплексного числа z = a + bi это ¯z = a - bi. Произведение комплексного числа и его комплексного сопряжения является вещественным числом: z × ¯z = a 2 + b 2.

Арифметика с комплексными числами

Давайте научимся выполнять основные арифметические операции с комплексными числами.

Сложение

Сумма двух комплексных чисел получается путем сложения их соответствующих действительных и мнимых частей. Для двух комплексных чисел z 1 = a + bi и z 2 = c + di сумма z 1 + z 2 вычисляется так:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Пример: сложите 2 + 3i и 4 + 5i.

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

Вычитание

Вычитание также просто. Чтобы вычесть z 2 из z 1, необходимо вычесть их действительные и мнимые части отдельно:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Пример: вычесть 4 + 5i из 2 + 3i.

(2 + 3i) - (4 + 5i) = (2 - 4) + (3 - 5)i = -2 - 2i

Умножение

Чтобы умножить два комплексных числа, используйте распределительное свойство и то, что i 2 = -1. Для z 1 = a + bi и z 2 = c + di произведение будет z 1 * z 2:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Пример: умножьте 1 + 2i и 3 + 4i.

(1 + 2i)(3 + 4i) = 1*3 + 1*4i + 2i*3 + 2i*4i = 3 + 4i + 6i + 8(-1) = (3 - 8) + (4 + 6)i = -5 + 10i

Деление

Деление комплексных чисел включает умножение числителя и знаменателя на сопряжение знаменателя. Для z 1 = a + bi и z 2 = c + di деление выполняется следующим образом:

1. Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя: z 1 / z 2 = (a + bi)(c - di) / (c + di)(c - di). 2. Решите уравнения: (a + bi)(c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i и (c 2 + d 2). 3. Разделите действительные и мнимые компоненты на (c 2 + d 2).

Пример: 1 + 2i разделить на 3 + 4i.

(1 + 2i) / (3 + 4i) = ((1 + 2i)(3 - 4i)) / ((3 + 4i)(3 - 4i)) = ((1*3 + 4*2) + (2*3 - 1*4)i) / (3 2 + 4 2) = (3 + 8 + (6 - 4)i) / (9 + 16) = (11 + 2i) / 25 = 11/25 + 2/25 i

Полярная форма комплексных чисел

Комплексные числа также могут быть представлены в полярной форме, что может быть более интуитивно при работе с умножением и делением. В полярной форме комплексное число выражается с использованием его модуля (также называемого модулем) и угла (также называемого аргументом).

Полярная форма комплексного числа z = a + bi :

z = r(cos(θ) + i&sin;(θ))

Где:

• r — модуль, и он определяется как |z| = √(a 2 + b 2).
• θ (тета) — аргумент и определяется как θ = tan -1 (b/a).

Графически:

Пример: преобразовать 1 + i в полярную форму.

1. Вычислить модуль:

|z| = √(1 2 + 1 2) = √2

2. Найти аргумент:

θ = tan -1 (1/1) = π/4

3. Выражение в полярной форме:

z = √2(cos(π/4) + i&sin;(π/4))

Комплексные числа и квадратные уравнения

Комплексные числа позволяют решить квадратные уравнения, которые не имеют вещественных решений. Рассмотрим уравнение:

x 2 + 1 = 0

В терминах вещественных чисел это уравнение не имеет решения, поскольку x ² всегда неотрицательно. Однако мы можем решить его с помощью комплексных чисел:

x 2 + 1 = 0 => x 2 = -1 => x = ±i

Таким образом, решениями являются x = i и x = -i.

Заключение

Комплексные числа играют важную роль в математике, расширяя систему вещественных чисел для решения уравнений, которые не имеют вещественных решений. С хорошо определенными операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление, комплексные числа составляют основную часть алгебры. Они имеют важные приложения в анализе, инженерии, физике и за их пределами, что делает их важным предметом изучения.

В ходе этого исследования мы не только узнали, как манипулировать комплексными числами арифметически, но и научились визуально и алгебраически представлять их в разных формах. Это фундаментальное понимание открывает двери ко многим сложным математическим концепциям и их приложениям в различных научных областях.

Продолжайте изучать комплексные числа, чтобы открыть их более глубокие применения и расширить свое понимание этой увлекательной области математики.

комментарии