Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Números complejos


Los números complejos son un aspecto fascinante y fundamental del álgebra y las matemáticas. Proporcionan una manera de ampliar nuestra comprensión de los números más allá de la línea de números reales, proporcionando soluciones a ecuaciones que no tienen soluciones reales. En esta exploración exhaustiva, profundizaremos en el concepto de números complejos, entenderemos sus propiedades, aprenderemos a hacer aritmética con ellos y, en última instancia, apreciaremos su importancia en diversas áreas de las matemáticas.

¿Qué son los números complejos?

En matemáticas, un número complejo es un número que se puede expresar como:

z = a + bi

Aquí:

  • a es la parte real del número complejo.
  • bi es la parte imaginaria del número complejo.
  • b es un número real.
  • i es una unidad imaginaria que satisface la siguiente ecuación:
i 2 = -1

La parte real y la parte imaginaria son números reales, pero la presencia de i convierte el número en un número complejo. El conjunto de números complejos a menudo se denota por C

Los números complejos suelen representarse como puntos o vectores en un plano bidimensional conocido como el plano complejo. La parte real del número se asigna al eje horizontal, mientras que la parte imaginaria se asigna al eje vertical.

(3, 3i) again I am

Visualización de números complejos

Imaginemos un número complejo z = 3 + 3i en el plano complejo:

(3, 3i) again I am

El punto rojo representa el número complejo z = 3 + 3i. La coordenada x (horizontal) es la parte real, y la coordenada y (vertical) es el coeficiente de i, que es la parte imaginaria.

Propiedades de los números complejos

Los números complejos tienen varias propiedades únicas:

  • Igualdad: Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Por ejemplo, a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d.
  • Identidad aditiva: El número complejo 0 + 0i es la identidad aditiva, es decir, para cualquier número complejo z, z + 0 = z.
  • Identidad multiplicativa: El número complejo 1 + 0i sirve como la identidad multiplicativa, es decir, para cualquier número complejo z, z × 1 = z.
  • Inverso aditivo: Para un número complejo z = a + bi, el inverso aditivo es -z = -a - bi. Por lo tanto, z + (-z) = 0.
  • Conjugado complejo: El conjugado complejo de un número complejo z = a + bi es ¯z = a - bi. El producto de un número complejo y su conjugado complejo es un número real: z × ¯z = a 2 + b 2.

Aritmética con números complejos

Aprendamos cómo realizar operaciones aritméticas básicas con números complejos.

Suma

La suma de dos números complejos se obtiene sumando sus partes reales e imaginarias correspondientes. Para dos números complejos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, la suma z 1 + z 2 se da por:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplo: Sumar 2 + 3i y 4 + 5i.

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

Resta

La resta también es sencilla. Para restar z 2 de z 1, resta sus componentes reales e imaginarios por separado:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Ejemplo: Restar 4 + 5i de 2 + 3i.

(2 + 3i) - (4 + 5i) = (2 - 4) + (3 - 5)i = -2 - 2i

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, utiliza la propiedad distributiva y el hecho de que i 2 = -1. Para z 1 = a + bi y z 2 = c + di, el producto es z 1 * z 2:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Ejemplo: Multiplicar 1 + 2i y 3 + 4i.

(1 + 2i)(3 + 4i) = 1*3 + 1*4i + 2i*3 + 2i*4i = 3 + 4i + 6i + 8(-1) = (3 - 8) + (4 + 6)i = -5 + 10i

División

La división de números complejos implica multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Para z 1 = a + bi y z 2 = c + di, divide siguiendo estos pasos:

1. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: z 1 / z 2 = (a + bi)(c - di) / (c + di)(c - di). 2. Resuelve las ecuaciones: (a + bi)(c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i y (c 2 + d 2). 3. Divide los componentes reales e imaginarios por (c 2 + d 2).

Ejemplo: 1 + 2i dividir por 3 + 4i.

(1 + 2i) / (3 + 4i) = ((1 + 2i)(3 - 4i)) / ((3 + 4i)(3 - 4i)) = ((1*3 + 4*2) + (2*3 - 1*4)i) / (3 2 + 4 2) = (3 + 8 + (6 - 4)i) / (9 + 16) = (11 + 2i) / 25 = 11/25 + 2/25 i

Forma polar de números complejos

Los números complejos también se pueden representar en forma polar, lo cual puede ser más intuitivo al trabajar con multiplicación y división. En forma polar, un número complejo se expresa utilizando su magnitud (también llamada módulo) y ángulo (también llamado argumento).

La forma polar del número complejo z = a + bi es:

z = r(cos(θ) + i&sin;(θ))

Donde:

  • r es el módulo y se da por |z| = √(a 2 + b 2).
  • θ (theta) es el argumento y se determina por θ = tan -1 (b/a).

Gráficamente:

(A, B) θ again I am

Ejemplo: Convertir 1 + i a forma polar.

1. Calcula el módulo: 
|z| = √(1 2 + 1 2) = √2
2. Encuentra el argumento: 
θ = tan -1 (1/1) = π/4
3. Expresa en forma polar: 
z = √2(cos(π/4) + i&sin;(π/4))

Números complejos y ecuaciones cuadráticas

Los números complejos nos permiten resolver ecuaciones cuadráticas que no tienen soluciones reales. Considera la ecuación:

x 2 + 1 = 0

En términos de números reales, esto no tiene solución porque x 2 siempre es no negativo. Sin embargo, podemos resolverlo utilizando números complejos:

x 2 + 1 = 0 => x 2 = -1 => x = ±i

Por lo tanto, las soluciones son x = i y x = -i.

Conclusión

Los números complejos juegan un papel importante en las matemáticas, extendiendo el sistema de números reales para resolver ecuaciones que no tienen soluciones reales. Con operaciones bien definidas como la suma, resta, multiplicación y división, los números complejos forman una parte esencial del álgebra. Tienen aplicaciones importantes en cálculo, ingeniería, física y más allá, lo que los convierte en un tema importante de estudio.

A través de este descubrimiento, no solo hemos descubierto cómo manipular números complejos aritméticamente, sino que también hemos aprendido cómo representarlos visual y algebraicamente en diversas formas. Esta comprensión fundamental abre la puerta a muchos conceptos matemáticos avanzados y sus aplicaciones en varios campos científicos.

Sigue explorando los números complejos para descubrir sus aplicaciones más profundas y ampliar tu comprensión de esta fascinante área de las matemáticas.


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