Класс 11 → Алгебра → Комплексные числа ↓
Степени и корни комплексных чисел
Введение в комплексные числа
Комплексное число — это математическая сущность, которую можно выразить в виде a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, удовлетворяющая уравнению i² = -1.
Пример комплексного числа
Рассмотрим комплексное число 3 + 4i. Здесь 3 — это действительная часть, а 4 — мнимая часть.
Степени комплексных чисел
Возведение комплексных чисел в степень требует многократного умножения числа на само себя. Обычный способ справляться с этим — использовать теорему Муавра.
Теорема Муавра
Теорема Муавра утверждает: для комплексного числа z = r(cos θ + i sin θ) и любого целого числа n,
z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ))где r — это модуль комплексного числа, а θ — аргумент.
Пример степени комплексного числа
Найдем (1 + i)^3:
Сначала переведем 1 + i в полярную форму. Модуль r = √(1² + 1²) = √2 и аргумент θ = arctan(1/1) = π/4.
Использование теоремы Муавра:
(√2)^3 [cos(3π/4) + i sin(3π/4)] = 2√2 [cos(3π/4) + i sin(3π/4)]Таким образом, (1 + i)^3 = -2 + 2i.
Корни комплексных чисел
Поиск корней комплексного числа означает определение другого комплексного числа, которое, будучи возведенным в определенную степень, равно исходному числу. n--ые корни комплексного числа можно найти с помощью формулы для извлечения корней.
Формула для корней комплексных чисел
Для комплексного числа z = r(cos θ + i sin θ) его n-ые корни определяются следующим образом:
w_k = √[n]{r} (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))Для k = 0, 1, 2, ..., n-1.
Пример комплексных корней
Найдём квадратный корень из 4i:
Сначала выразим 4i в полярной форме. Здесь модуль r = 4 и аргумент θ = π/2.
Квадратные корни доступны в виде:
w_k = √[2]{4} (cos((π/2 + 2kπ)/2) + i sin((π/2 + 2kπ)/2))Рассчитаем для k = 0 и k = 1:
- Для
k = 0:w_0 = 2 (cos π/4 + i sin π/4) = 2(√2/2 + i√2/2) = √2 + i√2. - Для
k = 1:w_1 = 2 (cos 5π/4 + i sin 5π/4) = 2(-√2/2 - i√2/2) = -√2 - i√2.
Таким образом, квадратные корни 4i равны √2 + i√2 и -√2 - i√2.
Визуализация степеней и корней
Рассмотрение комплексных чисел и их операций, таких как степени и корни, может помочь лучше их понять. Ниже приведены несколько иллюстраций, изображающих эти операции.
Это базовая диаграмма Аргана. Синяя линия представляет собой действительную ось, а красная линия представляет мнимую единицу i. Умножение и возведение в степень на комплексной плоскости приводят к поворотам и масштабированию.
Диаграмма, показывающая расположение квадратных корней, демонстрирующая, как корни возникают на комплексной плоскости. Приведенный здесь пример показывает взятые квадратные корни.
Дальнейшие соображения и симметрия
Следует отметить, что возведение числа в более высокие степени или извлечение нескольких корней приводит к тому, что эти значения симметрично распределяются по комплексной плоскости. Эта симметрия объясняется равномерным распределением углов.
Понимание симметрии
Например, n-ые корни комплексного числа равномерно распределены по окружности на плоскости Аргана. Это связано с приростом угла на 2π/n для каждого последующего корня.
Пример симметричных корней
Например, корни единицы, такие как кубические корни 1, которые равны 1, e^(2πi/3) и e^(4πi/3).
Эти корни располагаются на равных углах по 120° вокруг окружности, центрированной в начале координат, с радиусом 1.
Заключение
Понимание операций степеней и корней в области комплексных чисел требует базового понимания полярных координат, плоскости Аргана и свойств углов и симметрий. Овладение этими принципами делает возможными практические вычисления и приложения комплексных чисел в различных математических контекстах.
комментарии