11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Potências e raízes de números complexos


Introdução aos números complexos

Um número complexo é uma entidade matemática que pode ser expressa na forma a + bi, onde a e b são números reais, e i é a unidade imaginária, satisfazendo a equação i² = -1.

Exemplo de número complexo

Considere o número complexo 3 + 4i. Aqui, 3 é a parte real, e 4 é a parte imaginária.

Potências de números complexos

Elevar números complexos a um expoente exige multiplicar repetidamente o número por ele mesmo. Uma maneira comum de lidar com isso é usar o teorema de de Moivre.

Teorema de de Moivre

O teorema de de Moivre afirma: Para um número complexo z = r(cos θ + i sen θ) e qualquer número inteiro n,

z^n = r^n (cos(nθ) + i sen(nθ))

onde r é o módulo do número complexo e θ é o argumento.

Exemplo de potência de número complexo

Vamos encontrar (1 + i)^3:

Primeiro, converta 1 + i para a forma polar. Módulo r = √(1² + 1²) = √2 e argumento θ = arctan(1/1) = π/4.

Uso do teorema de de Moivre:

(√2)^3 [cos(3π/4) + i sen(3π/4)] = 2√2 [cos(3π/4) + i sen(3π/4)]

Assim, (1 + i)^3 = -2 + 2i.

Raízes de números complexos

Encontrar as raízes de um número complexo é determinar outro número complexo que, quando elevado a uma certa potência, seja igual ao número original. As n--ésimas raízes de um número complexo podem ser encontradas usando a fórmula da raiz enésima.

Fórmula para raízes de números complexos

Dado um número complexo z = r(cos θ + i sen θ), suas n-ésimas raízes são as seguintes:

w_k = √[n]{r} (cos((θ + 2kπ)/n) + i sen((θ + 2kπ)/n))

Para k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Exemplo de raízes complexas

Encontre a raiz quadrada de 4i:

Primeiro, expressar 4i na forma polar. Aqui, o módulo r = 4 e o argumento θ = π/2.

As raízes quadradas são dadas como:

w_k = √[2]{4} (cos((π/2 + 2kπ)/2) + i sen((π/2 + 2kπ)/2))

Calcule para k = 0 e k = 1:

  • Para k = 0: w_0 = 2 (cos π/4 + i sen π/4) = 2(√2/2 + i√2/2) = √2 + i√2.
  • Para k = 1: w_1 = 2 (cos 5π/4 + i sen 5π/4) = 2(-√2/2 - i√2/2) = -√2 - i√2.

Assim, as raízes quadradas de 4i são √2 + i√2 e -√2 - i√2.

Visualização de potências e raízes

Olhar para números complexos e suas operações, como potências e raízes, pode ajudar a entendê-los melhor. Abaixo estão algumas ilustrações que representam essas operações.

1 I Hey

Este é um diagrama básico de Argand. A linha azul representa o eixo real e a linha vermelha representa a unidade imaginária i. Multiplicações e potências complexas causam rotações e redimensionamentos neste plano.

√2 + i√2 2

Um diagrama mostrando o alinhamento da raiz quadrada, mostrando como as raízes surgem no plano complexo. O exemplo dado aqui mostra as raízes quadradas tomadas.

Considerações adicionais e simetria

Note que elevar um número a potências maiores ou extrair múltiplas raízes faz com que esses valores sejam distribuídos simetricamente sobre o plano complexo. Essa simetria vem da distribuição uniforme de ângulos.

Entendendo a simetria

Por exemplo, as enésimas raízes de um número complexo são distribuídas simetricamente ao redor de um círculo no plano de Argand. Isso se deve ao incremento de ângulo de 2π/n para cada raiz sucessiva.

Exemplo de raiz simétrica

Considere as raízes da unidade, como as raízes cúbicas de 1, que são 1, e^(2πi/3) e e^(4πi/3).

Esses locais estão localizados a ângulos iguais de 120° ao redor de um círculo centrado na origem com raio 1.

Conclusão

Compreender a operação de potências e raízes no reino dos números complexos exige uma compreensão básica de coordenadas polares, o plano de Argand e as propriedades de ângulos e simetrias. Dominar esses princípios torna possíveis cálculos práticos e aplicações de números complexos em uma variedade de contextos matemáticos.


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