Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Potencias y raíces de números complejos


Introducción a los números complejos

Un número complejo es una entidad matemática que puede expresarse en la forma a + bi, donde a y b son números reales, y i es la unidad imaginaria, satisfaciendo la ecuación i² = -1.

Ejemplo de número complejo

Considere el número complejo 3 + 4i. Aquí, 3 es la parte real, y 4 es la parte imaginaria.

Potencias de números complejos

Elevar números complejos a un exponente requiere multiplicar repetidamente el número por sí mismo. Una manera común de manejar esto es usar el teorema de De Moivre.

El teorema de De Moivre

El teorema de De Moivre establece: Para un número complejo z = r(cos θ + i sin θ) y cualquier entero n,

z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ))

donde r es el módulo del número complejo y θ es el argumento.

Ejemplo de potencia de número complejo

Vamos a encontrar (1 + i)^3:

Primero, convierta 1 + i a forma polar. Módulo r = √(1² + 1²) = √2 y argumento θ = arctan(1/1) = π/4.

Uso del teorema de De Moivre:

(√2)^3 [cos(3π/4) + i sin(3π/4)] = 2√2 [cos(3π/4) + i sin(3π/4)]

Así, (1 + i)^3 = -2 + 2i.

Raíces de números complejos

Encontrar las raíces de un número complejo es determinar otro número complejo que, cuando se eleva a cierta potencia, es igual al número original. Las n-ésimas raíces de un número complejo se pueden encontrar usando la fórmula de raíces enésimas.

Fórmula para raíces de números complejos

Dado un número complejo z = r(cos θ + i sin θ), sus n-ésimas raíces son las siguientes:

w_k = √[n]{r} (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))

Para k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Ejemplo de raíces complejas

Encuentre la raíz cuadrada de 4i:

Primero, exprese 4i en forma polar. Aquí, el módulo r = 4 y el argumento θ = π/2.

Las raíces cuadradas están dadas como:

w_k = √[2]{4} (cos((π/2 + 2kπ)/2) + i sin((π/2 + 2kπ)/2))

Calcule para k = 0 y k = 1:

  • Para k = 0: w_0 = 2 (cos π/4 + i sin π/4) = 2(√2/2 + i√2/2) = √2 + i√2.
  • Para k = 1: w_1 = 2 (cos 5π/4 + i sin 5π/4) = 2(-√2/2 - i√2/2) = -√2 - i√2.

Así, las raíces cuadradas de 4i son √2 + i√2 y -√2 - i√2.

Visualización de potencias y raíces

Mirar los números complejos y sus operaciones como potencias y raíces puede ayudar a comprenderlos mejor. A continuación se presentan algunas ilustraciones que representan estas operaciones.

1 I Hey

Este es un diagrama de Argand básico. La línea azul representa el eje real y la línea roja representa la unidad imaginaria i. Las multiplicaciones y potencias complejas causan rotaciones y escalados en este plano.

√2 + i√2 2

Un diagrama que muestra la alineación de las raíces cuadradas, mostrando cómo surgen las raíces en el plano complejo. El ejemplo dado aquí muestra las raíces cuadradas tomadas.

Consideraciones adicionales y simetría

Note que elevar un número a potencias más altas o tomar múltiples raíces hace que estos valores se distribuyan simétricamente sobre el plano complejo. Esta simetría proviene de la distribución uniforme de los ángulos.

Comprendiendo la simetría

Por ejemplo, las enésimas raíces de un número complejo se distribuyen simétricamente alrededor de un círculo en el plano de Argand. Esto se debe al incremento angular de 2π/n para cada raíz sucesiva.

Ejemplo de raíz simétrica

Considere las raíces de la unidad, como las raíces cúbicas de 1 que son 1, e^(2πi/3), y e^(4πi/3).

Estos orígenes están ubicados en ángulos iguales de 120° alrededor de un círculo centrado en el origen con radio 1.

Conclusión

Entender la operación de potencias y raíces en el ámbito de los números complejos requiere una comprensión básica de las coordenadas polares, el plano de Argand, y las propiedades de ángulos y simetrías. Dominar estos principios hace que los cálculos prácticos y las aplicaciones de números complejos sean posibles en una variedad de contextos matemáticos.


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Potencias y raíces de números complejos

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