复共轭

理解复数

复数是具有实部和虚部的数字。它们以以下形式表示：

a + bi

这里，a 是实部，b 是虚部。i 是代表 -1 的平方根的符号。复数是我们每天使用的常规数字或实数的扩展。它们为我们提供了解决在实数中无解的方程的方法。

复共轭简介

复共轭是复数的伴侣。如果您有一个复数 a + bi，那么它的复共轭是 a - bi。共轭只是翻转了虚部的符号。

复共轭的例子

让我们来看一些例子：

• 如果复数是 3 + 4i，那么它的复共轭是 3 - 4i。
• 如果复数是 -1 + 7i，那么它的复共轭是 -1 - 7i。
• 如果复数是 5 - 9i，那么它的复共轭是 5 + 9i。

几何解释

复数可以在称为复平面的平面上查看，其中 x 轴表示实部，y 轴表示虚部。

        
        
        
        
        
        
        A+ Bye
        A - Bye
        实数
        虚数
        
    

在上图中，蓝线代表复数 a + bi，红线代表其复共轭 a - bi。您可以看到它们相对于实数轴对称。

复共轭的性质

复共轭的一些有趣性质是：

1. 和的共轭：两个复数的和的共轭是它们共轭的和。如果 z = a + bi 和 w = c + di，那么 z + w 的共轭是：

   (a + c) - (b + d)i = (a - bi) + (c - di)

2. 积的共轭：两个复数的积的共轭是它们共轭的积。如果 z = a + bi 和 w = c + di，那么 z * w 的共轭是：

   ((a * c) - (b * d)) - ((a * d) + (b * c))i

3. 模长：一个复数及其共轭具有相同的模长（或模）。如果复数为 z = a + bi，则模长为：

   |z| = |a + bi| = √(a² + b²)

4. 复数与其共轭相乘：当一个复数与其共轭相乘时，结果是一个实数：

   (a + bi)(a - bi) = a² + b²

复共轭的用途

复共轭在除复数时非常有用，找出复数的模长和幅角，并求解实系数为复解的多项式方程。

复数的除法

要除两个复数，可以将分子和分母都乘以分母的共轭。这里有一个例子：

假设您想用 3 + 4i 除 1 + 2i。您可以这样做：

        (1 + 2i) / (3 + 4i) 乘以分母的共轭: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i
        (1 + 2i) / (3 + 4i) 乘以分母的共轭: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i
    

共轭根定理

复共轭根定理指出，如果多项式的系数是实数，那么非实复根将成共轭对出现。这意味着如果 a + bi 是一个根，那么 a - bi 也将是一个根。

使用共轭根定理的例子

考虑多项式方程：

x² + 2x + 5 = 0

判别方法是：

Δ = b² - 4ac = 2² - 4*1*5 = 4 - 20 = -16

由于判别式是负数，其根是复数。使用二次公式，根为：

        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i
        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i
    

这些可以写成 -1 + 2i 和 -1 - 2i，显示根是彼此的复共轭。

练习题

1. 找出 -5 + 12i 的复共轭。
2. 如果 z = 7 - 3i，计算 zz*，其中 z* 是 z 的复共轭。
3. 2 + 5i 除以 1 - 3i。
4. 证明 2 + 3i 和 2 - 3i 的共轭相等。
5. 使用复共轭找出具有复数根 1 + i 和 1 - i 的实系数二次方程。

复共轭简化了许多复数运算，使找到更高级数学问题的解决方案变得更容易。通过理解和掌握它们，您可以自信地进入复数应用的广阔世界。

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