Комплексные сопряженные

Понимание комплексных чисел

Комплексные числа — это числа, имеющие действительную и мнимую часть. Они записываются в следующей форме:

a + bi

Здесь a — действительная часть, а b — мнимая часть. i — это символ, обозначающий квадратный корень из -1. Комплексные числа являются расширением обычных чисел или действительных чисел, которые мы используем каждый день. Они предоставляют нам способы решения уравнений, не имеющих решений в действительных числах.

Введение в комплексные сопряженные

Комплексное сопряженное — это пара к комплексному числу. Если у вас есть комплексное число a + bi, то его комплексное сопряженное — a - bi. Сопряженное просто меняет знак мнимой части.

Пример комплексных сопряженных

Рассмотрим несколько примеров:

• Если комплексное число 3 + 4i, то его комплексное сопряженное 3 - 4i.
• Если комплексное число -1 + 7i, то его комплексное сопряженное -1 - 7i.
• Если комплексное число 5 - 9i, то его комплексное сопряженное 5 + 9i.

Геометрическое интерпретация

Комплексные числа можно рассматривать на плоскости, называемой комплексной плоскостью, где ось абсцисс представляет собой действительную часть, а ось ординат представляет мнимую часть.

        
        
        
        
        
        
        A + Bi
        A - Bi
        Действительная
        Мнимая
        
    

На приведенной выше диаграмме синяя линия представляет собой комплексное число a + bi, а красная линия представляет его комплексное сопряженное a - bi. Видно, что они симметричны относительно действительной оси.

Свойства комплексных сопряженных

Некоторые интересные свойства комплексных сопряженных такие:

1. Сопряженное суммы: Сопряженное суммы двух комплексных чисел — это сумма их сопряженных. Если z = a + bi и w = c + di, то сопряженное z + w равно:

   (a + c) - (b + d)i = (a - bi) + (c - di)

2. Сопряженное произведения: Сопряженное произведения двух комплексных чисел — это произведение их сопряженных. Если z = a + bi и w = c + di, то сопряженное z * w равно:

   ((a * c) - (b * d)) - ((a * d) + (b * c))i

3. Модуль: Комплексное число и его сопряженное имеют одинаковый модуль. Если комплексное число z = a + bi, то модуль равен:

   |z| = |a + bi| = √(a² + b²)

4. Умножение комплексного числа на его сопряженное: Когда комплексное число умножается на его сопряженное, результатом является действительное число:

   (a + bi)(a - bi) = a² + b²

Применение комплексных чисел

Комплексные сопряженные очень полезны при делении комплексных чисел, нахождении модуля и аргумента комплексного числа и решении полиномиальных уравнений, где действительные коэффициенты дают комплексные решения.

Деление комплексных чисел

Для деления двух комплексных чисел можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя. Вот пример:

Предположим, вы хотите разделить 1 + 2i на 3 + 4i. Тогда сделайте следующее:

        (1 + 2i) / (3 + 4i) Умножаем на сопряженное знаменателя: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i
        (1 + 2i) / (3 + 4i) Умножаем на сопряженное знаменателя: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i
    

Теорема о сопряженных корнях

Теорема о сопряженных корнях комплексных чисел утверждает, что если коэффициенты полинома действительные, тогда не действительные комплексные корни лежат в сопряженных парах. Это означает, что если a + bi — корень, то a - bi тоже будет корнем.

Пример применения теоремы о сопряженных корнях

Рассмотрим полиномиальное уравнение:

x² + 2x + 5 = 0

Дискриминант:

Δ = b² - 4ac = 2² - 4*1*5 = 4 - 20 = -16

Поскольку дискриминант отрицательный, его корни комплексные. Используя квадратную формулу, корни такие:

        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i
        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i
    

Эти корни можно записать как -1 + 2i и -1 - 2i, показывающие, что корни являются комплексными сопряженными друг другу.

Практические задачи

1. Найдите комплексное сопряженное числа -5 + 12i.
2. Если z = 7 - 3i, вычислите zz*, где z* является комплексным сопряженным числа z.
3. 2 + 5i Разделите на 1 - 3i.
4. Покажите, что сопряженные числа 2 + 3i и 2 - 3i равны.
5. Используйте комплексные сопряженные, чтобы найти квадратное уравнение с реальными коэффициентами, имеющее корни 1 + i и 1 - i.

Комплексные сопряженные упрощают многие операции с комплексными числами, облегчают нахождение решений более продвинутых математических задач. Понимая их и освоив, вы сможете с уверенностью шагнуть в более широкий мир приложений комплексных чисел.

комментарии