11年生
  1. 代数  1.1. 代数における数列と級数の理解  1.1.1. 等差数列の理解  1.1.2. 等差数列  1.1.3. 幾何数列の理解  1.1.4. 等比数列を理解する  1.1.5. 収束と発散  1.1.6. 代数学における「無限への和」を理解する  1.1.7. シグマ記法  1.2. 複素数  1.2.1. 虚数と複素数の理解  1.2.2. 複素数の演算  1.2.3. 複素数の極形式とデカルト形式  1.2.4. 複素数の共役  1.2.5. 絶対値と偏角  1.2.6. ド・モアブルの定理  1.2.7. 複素数の冪乗と根  1.3. 二項定理  1.3.1. 二項式の展開  1.3.2. 二項定理の一般的な用語  1.3.3. 二項係数  1.3.4. 二項定理の応用  1.3.5. パスカルの三角形
  2. 関数とグラフ  2.1. タスクのタイプ  2.1.1. 多項式関数  2.1.2. 有理関数  2.1.3. 指数関数  2.1.4. 対数関数  2.1.5. 三角関数  2.1.6. 断片的な作業  2.2. 関数の変換  2.2.1. 変換  2.2.2. 関数の変換における反射の理解  2.2.3. ストレッチとストレッチ  2.2.4. 関数とグラフにおける回転の理解  2.3. 逆関数  2.3.1. 逆を見つける  2.3.2. 逆関数のグラフ  2.3.3. 逆関数の性質  2.3.4. 逆関数の制限
  3. 三角法  3.1. 三角比と恒等式  3.1.1. 基本的な三角比  3.1.2. 三角法におけるピタゴラスの恒等式の理解  3.1.3. 和差公式  3.1.4. 二倍角の公式  3.1.5. 三角法における半角公式の理解  3.1.6. 積和公式と和積公式  3.2. 三角方程式  3.2.1. 三角方程を解く  3.2.2. 三角方程式における一般解  3.3. 三角関数のグラフ  3.3.1. 正弦グラフ  3.3.2. コサイングラフの理解  3.3.3. 正接グラフ  3.3.4. 振幅と期間の調整  3.3.5. 三角関数のグラフにおける位相変化  3.4. 三角法の応用  3.4.1. 正弦定理と余弦定理  3.4.2. 三角形の面積  3.4.3. 三角形の解法  3.4.4. ベアリングとナビゲーション
  4. 微分積分学入門  4.1. 微積分における限界と連続体の理解  4.1.1. 極限の概念  4.1.2. 一方の極限  4.1.3. 無限の極限を理解する  4.1.4. 関数の連続性  4.1.5. 不連続性の種類  4.2. 差別化  4.2.1. 導関数の定義  4.2.2. 微分の規則  4.2.3. 高次導関数  4.2.4. 連鎖律  4.2.5. 積の法則  4.2.6. 微分法における商の法則の理解  4.3. 微分の応用  4.3.1. 変化率  4.3.2. 接線と法線  4.3.3. 最大値と最小値  4.3.4. 増加関数と減少関数の理解  4.3.5. 最適化問題  4.3.6. 曲線をグラフ化する  4.3.7. 微分の応用における関連レート  4.4. 積分とは何ですか？  4.4.1. 不定積分  4.4.2. 不定積分  4.4.3. 定積分  4.4.4. 微分積分学の基本定理  4.4.5. 積分の技法  4.4.6. 積分における曲線の下の面積の理解  4.5. 積分の応用  4.5.1. 曲線間の面積  4.5.2. 回転体の体積  4.5.3. 微積分での関数の平均値を理解する
  5. ベクトルと行列  5.1. ベクトル  5.1.1. 紹介  5.1.2. ベクトルの演算  5.1.3. 内積の理解  5.1.4. クロス積  5.1.5. 幾何学における応用  5.1.6. ベクトルの射影  5.2. 行列  5.2.1. 行列の種類  5.2.2. 行列演算の理解  5.2.3. 行列式  5.2.4. 行列の逆行列  5.2.5. 線形方程式系の解法  5.2.6. クラメルの定理
  6. 確率と統計  6.1. 数学における確率の理解  6.1.1. 基本的な確率の概念  6.1.2. 条件付き確率  6.1.3. 確率における独立事象と従属事象の紹介  6.1.4. ベイズの定理  6.1.5. 組合せ確率  6.2. 確率変数  6.2.1. 離散確率変数  6.2.2. 連続確率変数  6.2.3. 確率分布  6.3. 確率分布  6.3.1. 二項分布を理解する  6.3.2. 正規分布  6.3.3. ポアソン分布  6.3.4. 均等な分布  6.4. 図  6.4.1. 代表値の尺度  6.4.2. 散布度の測定  6.4.3. データ収集と表現  6.4.4. 相関と回帰  6.4.5. サンプリング技術
  7. 座標幾何  7.1. 座標幾何学における直線  7.1.1. 座標幾何学における傾きと切片の形式  7.1.2. 直線の距離公式  7.1.3. 座標幾何における中点公式の理解  7.1.4. 線間の角度  7.1.5. 直線の方程式  7.2. 円錐曲線  7.2.1. 円  7.2.2. 放物線の紹介  7.2.3. 円錐曲線における楕円  7.2.4. 円錐曲線における双曲線の理解  7.2.5. 円錐の特性  7.2.6. 円錐曲線のパラメトリック方程式  7.2.7. 円錐曲線の極座標
  8. 算術論理  8.1. 数学的論理における論理の紹介  8.1.1. 文と論理結合子  8.1.2. 真理値表  8.1.3. 論理的同値  8.1.4. 数学論理における論理の量化子  8.1.5. 証明技法  8.2. 数学的論理における証明の理解  8.2.1. 直接証拠  8.2.2. 間接的証明  8.2.3. 背理法の理解  8.2.4. 数学的帰納法による証明

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複素数の共役


複素数を理解する

複素数は実部と虚部を持つ数です。それらは以下の形式で書かれます:

a + bi

ここで、aは実部であり、bは虚部です。iは-1の平方根を表す記号です。複素数は、毎日使用する通常の数や実数の拡張です。彼らは実数では解がない方程式を解く方法を提供します。

複素共役の紹介

複素共役は複素数のパートナーです。複素数がa + biの場合、その複素共役はa - biです。共役は単に虚部の符号を反転させます。

複素共役の例

いくつかの例を見てみましょう：

  • 複素数が3 + 4iの場合、複素共役は3 - 4iです。
  • 複素数が-1 + 7iの場合、複素共役は-1 - 7iです。
  • 複素数が5 - 9iの場合、複素共役は5 + 9iです。

幾何学的解釈

複素数は複素平面と呼ばれる平面上に表示され、x軸が実部を表し、y軸が虚部を表します。

        
        
        
        
        
        
        A+ Bye
        A - Bye
        Real
        Imaginary

上の図では、青い線が複素数a + biを表し、赤い線がその複素共役a - biを表しています。それらが実数軸に対して対称であることがわかります。

複素共役の特性

複素共役のいくつかの興味深い特性があります：

  1. 和の共役：2つの複素数の和の共役は、和の共役です。z = a + biとw = c + diの場合、z + wの共役は次のようになります： 
    (a + c) - (b + d)i = (a - bi) + (c - di)
  2. 積の共役：2つの複素数の積の共役は、その積の共役です。z = a + biとw = c + diの場合、z * wの共役は次のようになります： 
    ((a * c) - (b * d)) - ((a * d) + (b * c))i
  3. 大きさ：複素数とその共役は同じ大きさ（またはモジュール）を持ちます。複素数z = a + biの場合、大きさは次のようになります： 
    |z| = |a + bi| = √(a² + b²)
  4. 複素数をその共役で掛ける：複素数をその共役で掛けると、結果は実数になります： 
    (a + bi)(a - bi) = a² + b²

複素化合物の使用

複素共役は、複素数を分割する際、複素数のモジュールと引数を見つける際、実数係数を持つ多項式方程式を解く際に非常に役立ちます。

複素数の除算

2つの複素数を除算するには、分母の共役を使用して分子と分母の両方を掛け算できます。次の例を示します：

1 + 2iを3 + 4iで除算したい場合、以下を行います：

        (1 + 2i) / (3 + 4i)  分母の共役で掛け算する: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i
        (1 + 2i) / (3 + 4i)  分母の共役で掛け算する: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i

共役根定理

複素共役根定理は、多項式の係数が実数の場合、その非実数の複素根は共役対で存在することを示しています。つまり、a + biが根である場合、a - biも根になります。

共役根定理を使用した例

次の多項式方程式を考えます：

x² + 2x + 5 = 0

分化係数は:

Δ = b² - 4ac = 2² - 4*1*5 = 4 - 20 = -16

判別式が負であるため、その根は複素数です。二次方程式の解法を使用して、根は次のようになります：

        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i
        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i

これらは-1 + 2iと-1 - 2iとして書くことができ、根が互いに複素共役であることを示しています。

練習問題

  1. -5 + 12iの複素共役を見つけてください。
  2. もしz = 7 - 3iなら、z*がzの複素共役であるとき、zz*を計算してください。
  3. 2 + 5iを1 - 3iで除算します。
  4. 2 + 3iと2 - 3iの共役が等しいことを示してください。
  5. 複素共役を使用して、1 + iと1 - iを根に持つ実数係数の二次方程式を見つけてください。

複素共役は複素数の多くの操作を簡素化し、より高度な数学問題の解決を容易にします。それらを理解し、習得することで、複素数の応用の広い世界に自信を持って踏み出すことができます。


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