Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Conjugados complejos


Entendiendo los números complejos

Los números complejos son números que tienen una parte real y una parte imaginaria. Se escriben de esta forma:

a + bi

Aquí, a es la parte real y b es la parte imaginaria. i es un símbolo que representa la raíz cuadrada de -1. Los números complejos son una extensión de los números regulares o números reales, que usamos todos los días. Nos proporcionan formas de resolver ecuaciones que no tienen soluciones en números reales.

Introducción a los conjugados complejos

Un conjugado complejo es el compañero de un número complejo. Si tienes un número complejo a + bi, su conjugado complejo es a - bi. El conjugado simplemente cambia el signo de la parte imaginaria.

Ejemplo de conjugados complejos

Veamos algunos ejemplos:

  • Si el número complejo es 3 + 4i, entonces su conjugado complejo es 3 - 4i.
  • Si el número complejo es -1 + 7i, entonces su conjugado complejo es -1 - 7i.
  • Si el número complejo es 5 - 9i, entonces su conjugado complejo es 5 + 9i.

Interpretación geométrica

Los números complejos pueden ser vistos en un plano llamado plano complejo, donde el eje x representa la parte real y el eje y representa la parte imaginaria.

        
        
        
        
        
        
        a + bi
        a - bi
        Real
        Imaginario

En el diagrama anterior, la línea azul representa el número complejo a + bi, y la línea roja representa su conjugado complejo a - bi. Puedes ver que son simétricos con respecto al eje real.

Propiedades de los conjugados complejos

Algunas propiedades interesantes de los conjugados complejos son:

  1. Conjugado de una suma: El conjugado de la suma de dos números complejos es la suma de sus conjugados. Si z = a + bi y w = c + di, entonces el conjugado de z + w es: 
    (a + c) - (b + d)i = (a - bi) + (c - di)
  2. Conjugado de un producto: El conjugado del producto de dos números complejos es el producto de sus conjugados. Si z = a + bi y w = c + di, entonces el conjugado de z * w es: 
    ((a * c) - (b * d)) - ((a * d) + (b * c))i
  3. Magnitud: Un número complejo y su conjugado tienen la misma magnitud (o módulo). Si el número complejo z = a + bi, entonces la magnitud es: 
    |z| = |a + bi| = √(a² + b²)
  4. Multiplicando un número complejo por su conjugado: Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado, el resultado es un número real: 
    (a + bi)(a - bi) = a² + b²

Usos de los conjugados complejos

Los conjugados complejos son muy útiles al dividir números complejos, encontrar el módulo y argumento de un número complejo y resolver ecuaciones polinomiales donde los coeficientes reales dan soluciones complejas.

División de números complejos

Para dividir dos números complejos, puedes multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. Aquí hay un ejemplo:

Digamos que quieres dividir 1 + 2i por 3 + 4i. Harías lo siguiente:

        (1 + 2i) / (3 + 4i) Multiplicar por el conjugado del denominador: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i
        (1 + 2i) / (3 + 4i) Multiplicar por el conjugado del denominador: (1 + 2i) * (3 - 4i) / ((3 + 4i) * (3 - 4i)) = (3 + 2i - 4i - 8) / (9 - 16i²) = (-5 - 2i) / (25) = -1/5 - 2/25 i

Teorema del conjugado

El teorema del conjugado complejo establece que si los coeficientes de un polinomio son reales, entonces las raíces complejas no reales están en pares conjugados. Esto significa que si a + bi es una raíz, entonces a - bi también será una raíz.

Ejemplo de uso del teorema del conjugado

Considera la ecuación polinomial:

x² + 2x + 5 = 0

El discriminante es:

Δ = b² - 4ac = 2² - 4*1*5 = 4 - 20 = -16

Como el discriminante es negativo, sus raíces son complejas. Usando la fórmula cuadrática, las raíces son:

        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i
        x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a = [-2 ± √(-16)] / 2 = [-2 ± 4i] / 2 = -1 ± 2i

Estas se pueden escribir como -1 + 2i y -1 - 2i, mostrando que las raíces son conjugados complejos entre sí.

Problemas de práctica

  1. Encuentra el conjugado complejo de -5 + 12i.
  2. Si z = 7 - 3i, calcula zz*, donde z* es el conjugado complejo de z.
  3. 2 + 5i Divide por 1 - 3i.
  4. Demuestra que los conjugados de 2 + 3i y 2 - 3i son iguales.
  5. Utiliza conjugados complejos para encontrar una ecuación cuadrática con coeficientes reales que tenga raíces 1 + i y 1 - i.

Los conjugados complejos simplifican muchas operaciones con números complejos, haciendo más fácil encontrar soluciones para problemas matemáticos más avanzados. Al entenderlos y dominarlos, puedes adentrarte en el amplio mundo de las aplicaciones de números complejos con confianza.


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