Полярная и декартова формы комплексных чисел

Комплексные числа являются увлекательным расширением действительных чисел. Они предоставляют способ решения уравнений, которые иначе не имели бы решения в множестве действительных чисел. Комплексные числа имеют множество применений в инженерии, физике и математике. В этом уроке мы рассмотрим две прекрасные формы их представления: декартову форму и полярную форму.

Понимание комплексных чисел

Комплексное число состоит из двух частей: действительной части и мнимой части. Его можно выразить как z = a + bi, где:

• a — действительная часть комплексного числа.
• b — мнимая часть, умноженная на мнимую единицу i, где i определяется свойством i² = -1.

Например, 3 + 4i и 5 - 2i являются комплексными числами.

Декартова форма

Декартова форма, также известная как прямоугольная форма, представляет комплексное число как z = a + bi. Эта форма очень удобна для базового сложения и вычитания комплексных чисел.

Рассмотрим два комплексных числа, z1 = 3 + 4i и z2 = 1 + 2i. Чтобы сложить их, просто сложим действительные части и мнимые части отдельно:

z1 + z2 = (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i

Вычитание выполняется аналогичным образом:

z1 – z2 = (3 + 4i) – (1 + 2i) = (3 – 1) + (4i – 2i) = 2 + 2i

Геометрическая интерпретация: декартовы координаты

Каждое комплексное число можно представить как точку на двумерной плоскости, известной как комплексная плоскость. Действительная часть — это горизонтальная компонента, а мнимая часть — вертикальная компонента. Это соответствует декартовой системе координат.

Комплексное число 3 + 4i соответствует точке (3, 4) на комплексной плоскости.

Полярная форма

Помимо сложения и вычитания, комплексные числа также можно умножать и делить. Для этих операций полярная форма часто более удобна. Полярная форма комплексного числа выражает число в терминах его модуля (также называемого модулем) и угла (также называемого аргументом).

Полярная форма записывается как z = r(cos θ + i sin θ), где:

• r представляет модуль комплексного числа, который вычисляется как r = sqrt(a² + b²).
• θ представляет аргумент, вычисляемый как θ = atan(b/a), который является углом, образованным с положительной осью x.

Преобразование между формами

Давайте преобразуем комплексное число 3 + 4i в его полярную форму.

Шаг 1: Найти модуль

Модуль r вычисляется следующим образом:

R = sqrt(a² + b²) = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Шаг 2: Найти аргумент

Аргумент θ определяется из:

θ = atan(b/a) = atan(4/3)

Обычно для измерения углов в градусах или радианах используется калькулятор.

Полученная полярная форма

Таким образом, полярная форма 3 + 4i имеет вид:

5(cos θ + i sin θ)

Где это примерно 53,13°, когда переводится в градусы с использованием калькулятора θ.

Геометрическая интерпретация: полярные координаты

На комплексной плоскости модуль r представляет расстояние от начала координат до точки (a, b), а аргумент θ представляет угол от положительной вещественной оси к линии, соединяющей начало координат с точкой (a, b). Полярная форма подчеркивает использование углов, увеличивая ее полезность в расчетах вращения и других угловых смещениях.

На следующей диаграмме показано комплексное число в полярной форме:

Умножение и деление с использованием полярной формы

Полярная форма комплексных чисел упрощает умножение и деление. Даны два комплексных числа z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) и z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2).

Произведение вычисляется следующим образом:

z1 * z2 = r1 * r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

Деление вычисляется следующим образом:

z1 / z2 = (r1 / r2) [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)]

Обратите внимание, что умножение модулей и сложение углов упрощает умножение, и то же самое касается деления.

Комплексные сопряженные

Комплексное сопряженное комплексного числа z = a + bi является a - bi. Концепция сопряженного является важной во многих областях комплексного анализа, геометрии и часто используется для упрощения деления в комплексных числах.

Комплексное число и его сопряженное имеют одинаковый модуль, но их аргументы отличаются знаком.

Визуальный пример

Вот визуальное сравнение между декартовой и полярной формами, используя число 5 + 5i.

Декартова форма

Полярная форма

Заключение

Изучение комплексных чисел в декартовой и полярной формах служит основой для более высоких математических понятий и практических применений. От простых арифметических операций до сложных уравнений, выбор формы представления часто зависит от решаемой задачи.

Понимая как геометрические, так и алгебраические формы, можно использовать мощь комплексных чисел для решения сложных математических задач с красотой и легкостью.

комментарии