複素数の極形式とデカルト形式

複素数は実数の魅力的な拡張です。それらは、実数の集合では解を持たない方程式を解く方法を提供します。複素数は工学、物理学、および数学で多くの応用があります。このレッスンでは、それらを表現するための2つの美しい形式、デカルト形式と極形式を探求します。

複素数を理解する

複素数は実部と虚部の2つの部分で構成されます。それはz = a + biとして表現できます。ここで：

• aは複素数の実部です。
• bは虚部であり、虚数単位iと掛けられています。iはi² = -1という性質で定義されています。

例えば、3 + 4iや5 - 2iは複素数です。

デカルト形式

デカルト形式は、複素数をz = a + biとして表します。この形式は、複素数の基本的な加算と減算に非常に便利です。

2つの複素数z1 = 3 + 4i およびz2 = 1 + 2iを考えてみましょう。それらを加えるには、実部と虚部をそれぞれ加えます：

z1 + z2 = (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i

減算も同様のプロセスに従います：

z1 – z2 = (3 + 4i) – (1 + 2i) = (3 – 1) + (4i – 2i) = 2 + 2i

幾何学的解釈：デカルト座標

すべての複素数は、複素平面と呼ばれる2次元空間上の点として表すことができます。実部は水平成分であり、虚部は垂直成分です。これはデカルト座標系と一致しています。

複素数3 + 4iは、複素平面上の点(3, 4)に対応します。

極形式

加算や減算に加えて、複素数は掛け算や割り算も可能です。これらの操作において極形式が便利です。複素数の極形式は、その大きさ（モジュールとも呼ばれる）とその角度（偏角とも呼ばれる）に基づいて数を表します。

極形式はz = r(cos θ + i sin θ)と書かれます。ここで：

• rは複素数のモジュールを表し、r = sqrt(a² + b²)として計算されます。
• θは偏角を表し、θ = atan(b/a)として計算され、正のx軸との角度です。

形式間の変換

複素数3 + 4iを極形式に変換してみましょう。

ステップ1: モジュールを見つける

モジュールrは次のように計算されます：

R = sqrt(a² + b²) = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

ステップ2: 論理を見つける

偏角θは次のように求められます：

θ = atan(b/a) = atan(4/3)

通常、電卓を使用して角度を度またはラジアンで測定します。

結果の極形式

したがって、3 + 4iの極形式は：

5(cos θ + i sin θ)

これはθ計算機を使用して度に変換されたとき約53.13°です。

幾何学的解釈：極座標

複素平面では、モジュールrは原点から点(a, b)までの距離を表し、偏角θは正の実数軸から原点を線で結んだ線までの角度を表します。極形式は角度の使用を強調し、回転やその他の角度変位計算での実用性を向上させます。

以下の図は極形式の複素数を示しています。

極形式による掛け算と割り算

複素数の極形式は掛け算と割り算を簡素化します。2つの複素数z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1)とz2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)が与えられます。

積は次のように計算されます：

z1 * z2 = r1 * r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

除算は次のように計算されます：

z1 / z2 = (r1 / r2) [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)]

モジュールを掛け、角度を加算することは掛け算を簡素化し、割り算も同様です。

複素共役

複素数z = a + biの複素共役はa - biです。共役の概念は、複素解析や幾何学の多くの領域で重要で、複素数の除算を簡素化するためにしばしば使用されます。

複素数とその共役は同じモジュールを持ち、それぞれの偏角は符号が異なります。

視覚的な例

ここに5 + 5iを使用してデカルト形式と極形式の視覚的な比較があります。

デカルト形式

極形式

結論

デカルト形式と極形式の両方での複素数の研究は、高度な数学的概念と実用的な応用の基礎として役立ちます。単純な算術から複雑な方程式まで、表現の選択はしばしば手元の問題に依存します。

幾何学的および代数的な形式の両方を理解することで、複素数の力を活用して美しく簡単に難しい数学的問題を解決することができます。

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