Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Formas polares y cartesianas de números complejos


Los números complejos son una fascinante extensión de los números reales. Proporcionan una manera de resolver ecuaciones que de otro modo no tendrían solución en el conjunto de los números reales. Los números complejos tienen muchas aplicaciones en ingeniería, física y matemáticas. En esta lección, exploraremos dos hermosas formas de representarlos: la forma cartesiana y la forma polar.

Entendiendo los números complejos

Un número complejo está compuesto por dos partes: una parte real y una parte imaginaria. Puede expresarse como z = a + bi, donde:

  • a es la parte real del número complejo.
  • b es la parte imaginaria y se multiplica por la unidad imaginaria i, donde i está definido por la propiedad i² = -1.

Por ejemplo, 3 + 4i y 5 - 2i son números complejos.

Forma cartesiana

La forma cartesiana, también conocida como forma rectangular, representa un número complejo como z = a + bi. Esta forma es bastante útil para la suma y resta básica de números complejos.

Consideremos dos números complejos, z1 = 3 + 4i y z2 = 1 + 2i. Para sumarlos, simplemente sumamos las partes reales y las partes imaginarias por separado:

z1 + z2 = (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i

La resta sigue un proceso similar:

z1 – z2 = (3 + 4i) – (1 + 2i) = (3 – 1) + (4i – 2i) = 2 + 2i

Interpretación geométrica: coordenadas cartesianas

Cada número complejo puede representarse como un punto en un espacio bidimensional conocido como el plano complejo. La parte real es el componente horizontal y la parte imaginaria es el componente vertical. Esto es consistente con el sistema de coordenadas cartesianas.

El número complejo 3 + 4i corresponde al punto (3, 4) en el plano complejo. 3 + 4i

Forma polar

Además de la suma y la resta, los números complejos también pueden multiplicarse y dividirse. Para estas operaciones, la forma polar suele ser más conveniente. La forma polar de un número complejo expresa el número en términos de su magnitud (también llamada módulo) y su ángulo (también llamado argumento).

La forma polar se escribe como z = r(cos θ + i sin θ), donde:

  • r representa el módulo del número complejo, que se calcula como r = sqrt(a² + b²).
  • θ representa el argumento, calculado como θ = atan(b/a), que es el ángulo formado con el eje x positivo.

Conversión entre formas

Convirtamos el número complejo 3 + 4i a su forma polar.

Paso 1: Encontrar el módulo

El módulo r se calcula como sigue:

R = sqrt(a² + b²) = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Paso 2: Encontrar el ángulo

El argumento θ se obtiene de:

θ = atan(b/a) = atan(4/3)

Típicamente, se usa una calculadora para medir ángulos en grados o radianes.

La forma polar resultante

Por lo tanto, la forma polar de 3 + 4i es:

5(cos θ + i sin θ)

Donde esto es aproximadamente 53.13° cuando se convierte a grados usando calculadora para θ.

Interpretación geométrica: coordenadas polares

En el plano complejo, el módulo r representa la distancia desde el origen hasta el punto (a, b), y el argumento θ representa el ángulo desde el eje real positivo hasta la línea que une el origen con el punto (a, b). La forma polar enfatiza el uso de ángulos, aumentando su utilidad en rotación y otros cálculos de desplazamiento angular.

La siguiente figura muestra un número complejo en forma polar:

r = 5 θ 3 + 4i

Multiplicación y división de forma polar

La forma polar de los números complejos simplifica la multiplicación y la división. Se dan dos números complejos z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) y z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2).

El producto se calcula de la siguiente manera:

z1 * z2 = r1 * r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

La división se calcula de la siguiente manera:

z1 / z2 = (r1 / r2) [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)]

Tenga en cuenta que multiplicar módulos y sumar ángulos simplifica la multiplicación, y lo mismo ocurre con la división.

Conjugados complejos

El conjugado complejo de un número complejo z = a + bi es a - bi. El concepto de un conjugado es esencial en muchas áreas del análisis complejo, la geometría, y a menudo se usa para simplificar la división compleja.

Un número complejo y su conjugado tienen el mismo módulo, mientras que sus argumentos difieren por un signo.

Ejemplo visual

Aquí hay una comparación visual entre las formas cartesiana y polar usando el número 5 + 5i.

Forma cartesiana

5 + 5i

Forma polar

5(cos θ + i sin θ) θ

Conclusión

El estudio de los números complejos en formas tanto cartesianas como polares sirve como base para conceptos matemáticos superiores y aplicaciones prácticas. Desde la aritmética simple hasta las ecuaciones complejas, la elección de la representación a menudo depende del problema en cuestión.

Al entender tanto las formas geométricas como algebraicas, uno puede aprovechar el poder de los números complejos para resolver problemas matemáticos desafiantes con belleza y facilidad.


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Formas polares y cartesianas de números complejos

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