複素数の演算

複素数は一見難しい概念のように見えるかもしれませんが、一度理解すると実は非常に簡単です。この包括的なガイドでは、複素数とは何か、どのようにそれらを操作するか、多くの例を用いて説明します。

複素数を理解する

複素数の根底にあるのは虚数単位iで、これは-1の平方根として定義されています。したがって、i2 = -1です。複素数は実部と虚部の2つの部分を持つ数で、次のように表現できます。

    A + Bye

ここで、aが実部、biが虚部です。例えば、3 + 4iは複素数で、3が実部、4iが虚部です。

複素数の視覚的表現

複素数は複素平面上で簡単に視覚化できます。複素平面は、水平軸 (x軸) が実成分を表し、垂直軸 (y軸) が虚成分を表すカルテシアン平面に似ています。

この図では、点 (250, 150) が複素数 3 + 4i を表しています。x座標 (250) は虚軸から3単位、y座標 (150) は実軸から4単位離れています。

複素数の演算

複素数は通常の数と同様に加算、減算、乗算、除算が可能です。それぞれの演算を詳しく見ていきましょう。

複素数の加算

2つの複素数を加算するには、それらの対応する実部と虚部を単に加算します。複素数(3 + 4i) 和(1 + 2i)を考えましょう。

    (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i

したがって、3 + 4iと1 + 2iの合計は4 + 6iです。

複素数の減算

複素数の減算は加算と同じ過程です。対応する実部と虚部を減算します。(5 + 6i) と (2 + 3i) を考えましょう。

    (5 + 6i) – (2 + 3i) = (5 – 2) + (6i – 3i) = 3 + 3i

したがって、差は3 + 3iです。

複素数の乗算

複素数を乗算するには、分配法則を使用し、iを通常の変数として扱い、特別な規則i2 = -1を適用します。(2 + 3i) と (4 + i) を掛け算してみましょう。

    (2 + 3i) * (4 + i) = 2*4 + 2*i + 3i*4 + 3i*i
                      = 8 + 2i + 12i + 3(-1)
                      = 8 + 14i – 3
                      = 5 + 14i

したがって、2 + 3i と 4 + i の積は 5 + 14i です。

複素数の除算

複素数を除算するには、分母の共役を利用します。複素数a + biの共役はa - biです。

(1 + 2i) を (3 + 4i) で割ることを考えてみましょう。最初に分母3 + 4iの共役3 - 4iを求めて, この共役を分子と分母に掛けます。

    (1 + 2i) / (3 + 4i) * (3 - 4i) / (3 - 4i)
    = [(1 + 2i) * (3 - 4i)] / [(3 + 4i) * (3 - 4i)]

そして、分数を掛け算します：

    (1 + 2i)(3 - 4i)
    = 1*3 + 1*(-4i) + 2i*3 + 2i*(-4i)
    = 3 - 4i + 6i - 8i2
    = 3 + 2i + 8 (since i2 = -1)
    = 11 + 2i

次に、分母を掛けます：

    (3 + 4i)(3 - 4i)
    = 3*3 + 3*(-4i) + 4i*3 + 4i*(-4i)
    = 9 - 12i + 12i - 16i2
    = 9 + 16 (since i2 = -1)
    = 25

最終的に、除算は次のようになります：

    (11 + 2i) / 25

したがって、1 + 2i を 3 + 4i で割った結果は 11/25 + (2/25)i です。

複素数の共役

複素数の共役は虚部の符号を変更して得られます。複素数がa + biであれば、その共役はa - biです。先程示したように、共役は複素数の除算に重要な役割を果たします。

複素数の極形式

標準形a + biに加えて、複素数は極形式でも表現できます。複素数は正の実軸を基準にした大きさと角度として表されます。極形式は次のように書かれます：

    r(cos(θ) + i sin(θ))

ここで、rは、大きさまたはモジュールで、原点から点までの距離を表し、θ (シータ) は偏角または正の実軸との角度です。

極形式への変換例

複素数3 + 4iを考えましょう。これを極形式に変換するには、まず大きさrを求めます：

    r = √(a2 + b2) = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5

次に、角度θを求めます。これは逆正接関数を使用して求められます：

    θ = tan-1(b/a) = tan-1(4/3)

したがって、3 + 4iの極形式は次のようになります：

    5(cos(tan-1(4/3)) + i sin(tan-1(4/3)))

複素数の立方根および高次根

実数と同様に、複素数にも根があります。複素数のn次根はde Moivreの定理を用いて求められます。この定理は、極形式の複素数に対して次のように述べています：

    zn = [r(cos(θ) + i sin(θ))]n = rn(cos(nθ) + i sin(nθ))

例えば、8の立方根を求めることは、8を極形式にしてその根を求めることに関わります。次のようになります：

    2(cos(0 + 2πk/3) + i sin(0 + 2πk/3)) for k = 0, 1, 2

各値を計算して立方根を得ます。

結論

複素数の演算は最初は難しく思えるかもしれませんが、基本を理解すると非常に簡単です。多くの基本演算をカバーし、多くの例を示しました。練習は完璧を作り、多様な問題に取り組むことで複素数の理解とその演算を強化します。

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