Понимание мнимых и комплексных чисел

В области математики многие концепции являются абстрактными и могут показаться немного ошеломляющими на первый взгляд. Мнимые и комплексные числа — это такие концепции, но с небольшим терпением и изучением их можно понять и даже оценить их красоту. В этой статье мы углубимся в мир мнимых и комплексных чисел, исследуя их определения, свойства и применение таким образом, чтобы это было доступно и легко понимать.

Что такое мнимые числа?

Начнем с мнимых чисел. Этот термин может показаться странным, потому что обычно числа считаются очень реальными, осязаемыми вещами. Однако мнимые числа — это уникальная концепция. Это числа, которые могут быть использованы для представления математических задач, где необходимо возвести в квадрат отрицательное число, что невозможно в множестве действительных чисел.

Мнимая единица обозначается как i и определяется следующим свойством:

i^2 = -1

Это уравнение показывает, что i — это число, квадрат которого равен -1. Важно отметить, что i само по себе не является отрицательным числом; это единица арифметики мнимых чисел.

Пример: Квадратный корень из отрицательного числа

Рассмотрим квадратный корень из -9. В системе действительных чисел эта операция не определена. Однако с использованием мнимых чисел мы можем выразить это следующим образом:

√(-9) = √(9) * √(-1) = 3i

Понимание комплексных чисел

Комплексные числа объединяют действительные и мнимые числа в одну структуру. Комплексное число выражается как:

a + bi

Здесь a и b — действительные числа. a — это действительная часть, а bi — это мнимая часть комплексного числа. Когда b равно нулю, комплексное число полностью действительно, а когда a равно нулю, оно полностью мнимо.

Пример: Представление комплексного числа

Рассмотрим комплексное число 4 + 5i.

• Действительная часть равна 4.
• Мнимая часть равна 5i.

Визуализация комплексных чисел

Комплексные числа могут быть визуализированы на комплексной плоскости. Эта плоскость похожа на декартову координатную систему, но она специально предназначена для комплексных чисел.

Горизонтальная линия, часто называемая "действительной осью", представляет действительную часть комплексного числа. Вертикальная линия, известная как "мнимая ось", представляет мнимую часть.

На диаграмме выше точка, представляющая комплексное число 4 + 5i, нанесена на пересечении 4 на действительной оси и 5 на мнимой оси.

Операции с комплексными числами

Подобно действительным числам, вы можете выполнять основные арифметические операции с комплексными числами, включая сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение комплексных чисел

Чтобы сложить два комплексных числа, сложите их действительные части и мнимые части отдельно. Допустим, у нас есть два комплексных числа:

(a + bi) + (c + di)

Это сложение выполняется следующим образом:

(a + c) + (b + d)i

Пример сложения

Сложите (3 + 4i) и (1 + 2i):

(3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i

Вычитание комплексных чисел

Чтобы вычесть комплексные числа, выполните те же операции, как и для сложения, но вычтите соответствующие части:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Пример вычитания

Вычтите (1 + 2i) из (3 + 4i):

(3 + 4i) - (1 + 2i) = (3 - 1) + (4 - 2)i = 2 + 2i

Умножение комплексных чисел

Чтобы умножить комплексные числа, используйте дистрибутивное свойство. Умножьте каждую часть и объедините их:

(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Так как i^2 = -1, выражение упрощается до:

(ac - bd) + (ad + bc)i

Пример умножения

Умножьте (2 + 3i) на (1 + 4i):

(2 + 3i) * (1 + 4i) = 2*1 + 2*4i + 3i*1 + 3i*4i = 2 + 8i + 3i + 12i^2
12i^2 = -12, следовательно, выражение становится 2 + 11i - 12 = -10 + 11i.

Деление комплексных чисел

Процесс деления включает умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателя.

(a + bi) / (c + di)

Умножьте как числитель, так и знаменатель на сопряженное знаменателя:

(a + bi) * (c - di) / (c + di) * (c - di)

Знаменатель становится действительным числом, потому что:

c^2 + d^2

Результат следующий:

((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c^2 + d^2)

Пример деления

Разделите (4 + 2i) на (3 - i):

(4 + 2i) / (3 - i)
Сопряженное к (3 - i) это (3 + i).
Умножение: ((4 + 2i)*(3 + i)) / ((3 - i)*(3 + i))
Числитель: 4*3 + 4*i + 2i*3 + 2i^2. Знаменатель: 3^2 + 1^2 = 10
12 + 4i + 6i - 2 = 10 + 10i. Следовательно, деление равно 1 + i

Сопряженное комплексное число

Сопряженное комплексного числа a + bi представляет собой a - bi. Это полезно при делении и упрощает некоторые вычисления.

Пример сопряженного

Пусть z = 5 + 3i. Сопряженное z' равно:

z' = 5 - 3i

Визуальный пример сопряженного

На этой диаграмме синяя точка представляет сопряженное красной точки. Обратите внимание, как действительные части равны, а мнимые части противоположны.

Полярная форма комплексного числа

Кроме стандартной формы a + bi, комплексные числа также могут быть представлены в полярной форме. Это включает в себя величину (также называемую модулем) и угол от положительной действительной оси (также называемый аргументом).

Любое комплексное число z может быть представлено как:

z = r(cosθ + isinθ)

Здесь r — модуль, который можно вычислить следующим образом:

r = √(a^2 + b^2)

Угол θ можно найти с помощью функции обратного тангенса:

θ = arctan(b/a)

Пример полярной формы

Преобразуйте 3 + 4i в его полярную форму:

r = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = 5
θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°
Таким образом, полярная форма z = 5(cos53.13° + isin53.13°)

Применение комплексных чисел

Комплексные числа, хотя и абстрактные, могут быть использованы в реальном мире во многих областях, включая инженерное дело, физику и прикладную математику. Некоторые примеры:

• Электротехника: в этой области комплексные числа используются для эффективного представления импедансов в цепях переменного тока.
• Гидродинамика: комплексные функции помогают анализировать и упрощать задачи, связанные с течением жидкостей.
• Квантовая механика: комплексные числа играют фундаментальную роль в квантовой механике, помогая представлять состояния и амплитуды.

Заключение

Мнимые и комплексные числа расширяют то, что мы понимаем как числа, органично вписываясь в потребности современной математики и приложений в различных науках. Понимание их свойств и операций открывает дверь к глубинному пониманию математики и ее многочисленных применений в описании мира природы. Путешествие по открытию этих чисел демонстрирует силу и полезность, казалось бы, абстрактных концепций в решении конкретных задач.

комментарии