Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра ↓


Понимание последовательностей и рядов в алгебре


Последовательности и ряды являются основной частью алгебры, позволяя нам решать задачи, связанные с шаблонами и суммированием. В этом подробном руководстве мы внимательно рассмотрим различные типы последовательностей и рядов, как определить их шаблоны и методы их решения. Мы изучим эту тему на различных примерах и четких определениях для обеспечения более глубокого понимания.

Что такое последовательности?

Последовательность — это упорядоченный список чисел, который следует определенному шаблону. Каждое число в последовательности называется членом. Последовательности часто определяются правилом, которое указывает, как найти следующий член из предыдущих. Давайте подробнее рассмотрим типы последовательностей, с которыми вы можете столкнуться.

Арифметическая последовательность

Арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами является постоянной. Эта разность называется "общей разностью" и обозначается d. Например, последовательность:

2, 5, 8, 11, 14,...

является арифметической последовательностью, общая разность которой равна d = 3.

Общий член арифметической последовательности может быть выражен с помощью следующей формулы:

a n = a 1 + (n - 1) * d

где a n — это n-ый член, a 1 — первый член, а d — общая разность.

Визуальный пример

2 5 8 11 14

Геометрическая прогрессия

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего члена на постоянное, ненулевое число, называемое "общим соотношением", обозначаемое r. Например:

3, 6, 12, 24, 48,...

является геометрической последовательностью, где общее соотношение r = 2.

Общий член геометрической последовательности может быть записан так:

a n = a 1 * r (n-1)

где a n — это n-ый член, a 1 — первый член, а r — общее соотношение.

Визуальный пример

3 6 12 24 48

Что такое ряды?

Ряд — это сумма членов последовательности. Когда у вас есть конкретная последовательность и вы складываете все ее члены, вы создаете ряд. Давайте более подробно рассмотрим типы рядов, которые часто изучаются в алгебре.

Арифметическая ряд

Арифметический ряд — это сумма членов арифметической последовательности. Сумма первых n членов обозначается S n и может быть рассчитана с помощью формулы:

S n = (n/2) * (a 1 + a n )

Альтернативно, если вы не хотите вычислять a n, вы можете использовать:

S n = (n/2) * (2a 1 + (n - 1) * d)

где a 1 — первый член, a n — n-ый член, а d — общая разность.

Пример арифметической ряда

Рассмотрим арифметическую последовательность: 5, 8, 11, 14, 17 Найдите сумму первых 5 членов.

a 1 = 5, d = 3, n = 5

S n = (5/2) * (2*5 + (5 - 1) * 3)
      = (5/2) * (10 + 12)
      = (5/2) * 22 = 55

Геометрическая ряд

Геометрическая ряд показывает сумму членов геометрической последовательности. Она может быть выражена с помощью формулы:

S n = A 1 * (1 - R n ) / (1 - R)

Если r ≠ 1, а n — количество членов. Где a 1 — это первый член, а r — общая разность.

Пример геометрической ряда

Для геометрической последовательности 3, 6, 12, 24... найдите сумму первых 4 членов.

a 1 = 3, r = 2, n = 4

S n = 3 * (1 - 2 4 ) / (1 - 2)
      = 3 * (1 - 16) / (-1)
      = 3 * (-15) / (-1)
      = 45

Специальные ряды

Рассмотрим некоторые особые типы рядов, обладающие уникальными свойствами и значимостью.

Конечные ряды

Конечная ряд имеет фиксированное количество членов. И арифметическая, и геометрическая ряд могут быть конечными.

Бесконечные ряды

Бесконечные ряды продолжаются бесконечно. Геометрические ряды часто используются в контексте бесконечных рядов.

Формула для суммы бесконечного геометрического ряда, где абсолютное значение общего соотношения |r| < 1, дается следующим образом:

S = A 1 / (1 - R)

Пример бесконечной ряда

Рассмотрим ряд 1, 0.5, 0.25, 0.125,..., общее соотношение которого r = 0.5.

S = 1 / (1 – 0.5)
  = 1 / 0.5
  = 2

Заключение

Последовательности и ряды — это мощные математические концепции, которые позволяют нам быстро распознавать шаблоны и рассчитывать суммы. Понимание арифметических и геометрических последовательностей и связанных с ними рядов обеспечивает прочную основу для более углубленных математических исследований. Освоение формул и практическое использование разнообразных примеров делает решение задач, связанных с последовательностями и рядами, практичной и управляемой задачей.


Класс 11 → 1.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1)
Алгебра
следующая (1.1.1) →
Понимание арифметических последовательностей

комментарии 



Понимание последовательностей и рядов в алгебре

https://www.buddymath.com/g11/1.1?bmal=ru