11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra


Sequências e séries são parte fundamental da álgebra, permitindo-nos resolver problemas que envolvem padrões e soma. Neste guia abrangente, faremos uma análise detalhada dos diferentes tipos de sequências e séries, como identificar seus padrões e os métodos usados para resolvê-los. Exploraremos esse tópico com vários exemplos e definições claras para garantir uma compreensão mais profunda.

O que são sequências?

Uma sequência é uma lista ordenada de números que segue um padrão particular. Cada número na sequência é chamado de termo. As sequências são frequentemente definidas por uma regra que indica como encontrar o próximo termo a partir dos termos anteriores. Vamos dar uma olhada mais profunda nos tipos de sequências que você pode encontrar.

Sequência aritmética

Uma sequência aritmética é uma sequência de números na qual a diferença de dois membros sucessivos é uma constante. Esta diferença é chamada de "diferença comum", denotada por d. Por exemplo, a sequência:

2, 5, 8, 11, 14,...

é uma sequência aritmética cuja diferença comum é d = 3.

O termo geral de uma sequência aritmética pode ser expresso pela seguinte fórmula:

a n = a 1 + (n - 1) * d

onde a n é o enésimo termo, a 1 é o primeiro termo, e d é a diferença comum.

Exemplo visual

2 5 8 11 14

Progressão geométrica

Uma sequência geométrica é uma sequência na qual cada termo após o primeiro é encontrado multiplicando-se o termo anterior por um número fixo, diferente de zero, chamado de "razão comum", denotada por r. Por exemplo:

3, 6, 12, 24, 48,...

é uma sequência geométrica onde a razão comum r = 2.

O termo geral de uma sequência geométrica pode ser escrito como:

a n = a 1 * r (n-1)

onde a n é o enésimo termo, a 1 é o primeiro termo, e r é a razão comum.

Exemplo visual

3 6 12 24 48

O que são as séries?

Uma série é a soma dos termos de uma sequência. Quando você tem uma sequência específica e soma todos os seus termos, você cria uma série. Vamos dar uma olhada mais de perto nos tipos de séries comumente estudadas em álgebra.

Série aritmética

Uma série aritmética é a soma dos termos de uma sequência aritmética. A soma dos primeiros n termos é denotada por S n e pode ser calculada usando a fórmula:

S n = (n/2) * (a 1 + a n )

Alternativamente, se você não quiser calcular a n, pode usar:

S n = (n/2) * (2a 1 + (n - 1) * d)

onde a 1 é o primeiro termo, a n é o enésimo termo, e d é a diferença comum.

Exemplo de série aritmética

Considere a sequência aritmética: 5, 8, 11, 14, 17 Encontre a soma dos primeiros 5 termos.

a 1 = 5, d = 3, n = 5

S n = (5/2) * (2*5 + (5 - 1) * 3)
      = (5/2) * (10 + 12)
      = (5/2) * 22 = 55

Série geométrica

A série geométrica mostra a soma dos termos em uma sequência geométrica. Ela pode ser expressa usando a fórmula:

S n = A 1 * (1 - R n ) / (1 - R)

Se r ≠ 1 e n é o número de termos. Onde a 1 é o primeiro termo e r é a razão comum.

Exemplo de série geométrica

Para a sequência geométrica 3, 6, 12, 24..., encontre a soma dos primeiros 4 termos.

a 1 = 3, r = 2, n = 4

S n = 3 * (1 - 2 4 ) / (1 - 2)
      = 3 * (1 - 16) / (-1)
      = 3 * (-15) / (-1)
      = 45

Séries especiais

Vamos considerar alguns tipos especiais de cadeias que possuem propriedades e significados únicos.

Série finita

Uma série finita tem um número fixo de termos. Tanto séries aritméticas quanto geométricas podem ser finitas.

Série infinita

Séries infinitas continuam indefinidamente. Séries geométricas são frequentemente usadas no contexto de séries infinitas.

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita, onde o valor absoluto da razão comum |r| < 1, é dado como segue:

S = A 1 / (1 - R)

Exemplo de série infinita

Considere a série 1, 0.5, 0.25, 0.125,... cuja razão comum r = 0.5.

S = 1 / (1 – 0.5)
  = 1 / 0.5
  = 2

Conclusão

Sequências e séries são conceitos matemáticos poderosos que nos permitem reconhecer padrões e calcular somas rapidamente. Compreender sequências aritméticas e geométricas e suas séries relacionadas proporciona uma base sólida para estudos matemáticos mais avançados. Ao se familiarizar com as fórmulas e praticar com uma variedade de exemplos, resolver problemas que envolvem sequências e séries torna-se uma tarefa prática e gerenciável.


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Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra

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