Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Comprender Secuencias y Series en Álgebra


Las secuencias y series son una parte fundamental del álgebra, permitiéndonos resolver problemas que involucran patrones y sumas. En esta guía completa, realizaremos un análisis detallado de los diferentes tipos de secuencias y series, cómo identificar sus patrones y los métodos utilizados para resolverlos. Exploraremos este tema con varios ejemplos y definiciones claras para asegurar una comprensión más profunda.

¿Qué son las secuencias?

Una secuencia es una lista ordenada de números que sigue un patrón particular. Cada número en la secuencia se llama término. Las secuencias a menudo se definen mediante una regla que indica cómo encontrar el siguiente término a partir de los términos anteriores. Echemos un vistazo más profundo a los tipos de secuencias que puedes encontrar.

Secuencia aritmética

Una secuencia aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia de cualquier dos miembros sucesivos es constante. Esta diferencia se llama "diferencia común" y se denota por d. Por ejemplo, la secuencia:

2, 5, 8, 11, 14,...

es una secuencia aritmética cuya diferencia común es d = 3.

El término general de una secuencia aritmética se puede expresar usando la siguiente fórmula:

a n = a 1 + (n - 1) * d

donde a n es el enésimo término, a 1 es el primer término, y d es la diferencia común.

Ejemplo visual

2 5 8 11 14

Progresión geométrica

Una secuencia geométrica es una secuencia en la que cada término después del primer término se encuentra multiplicando el término anterior por un número fijo, no cero, llamado "razón común", denotado por r. Por ejemplo:

3, 6, 12, 24, 48,...

es una secuencia geométrica donde la razón común r = 2.

El término general de una secuencia geométrica se puede escribir como:

a n = a 1 * r (n-1)

donde a n es el enésimo término, a 1 es el primer término, y r es la razón común.

Ejemplo visual

3 6 12 24 48

¿Qué son las series?

Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Cuando tienes una secuencia específica y sumas todos sus términos, creas una serie. Echemos un vistazo más de cerca a los tipos de series comúnmente estudiados en álgebra.

Serie aritmética

Una serie aritmética es la suma de los términos de una secuencia aritmética. La suma de los primeros n términos se denota por S n y se puede calcular utilizando la fórmula:

S n = (n/2) * (a 1 + a n )

Alternativamente, si no quieres calcular a n, puedes usar:

S n = (n/2) * (2a 1 + (n - 1) * d)

donde a 1 es el primer término, a n es el enésimo término, y d es la diferencia común.

Ejemplo de serie aritmética

Considera la secuencia aritmética: 5, 8, 11, 14, 17 Encuentra la suma de los primeros 5 términos.

a 1 = 5, d = 3, n = 5

S n = (5/2) * (2*5 + (5 - 1) * 3)
      = (5/2) * (10 + 12)
      = (5/2) * 22 = 55

Serie geométrica

La serie geométrica muestra la suma de los términos en una secuencia geométrica. Se puede expresar utilizando la fórmula:

S n = A 1 * (1 - R n ) / (1 - R)

Si r ≠ 1 y n es el número de términos. Donde a 1 es el primer término y r es la razón común.

Ejemplo de serie geométrica

Para la secuencia geométrica 3, 6, 12, 24..., encuentra la suma de los primeros 4 términos.

a 1 = 3, r = 2, n = 4

S n = 3 * (1 - 2 4 ) / (1 - 2)
      = 3 * (1 - 16) / (-1)
      = 3 * (-15) / (-1)
      = 45

Series especiales

Consideremos algunos tipos especiales de cadenas que tienen propiedades únicas y significado.

Serie finita

Una serie finita tiene un número fijo de términos. Tanto la serie aritmética como la serie geométrica pueden ser finitas.

Serie infinita

Las series infinitas continúan indefinidamente. Las series geométricas se usan a menudo en el contexto de series infinitas.

La fórmula para la suma de una serie geométrica infinita, donde el valor absoluto de la razón común |r| < 1, se da como sigue:

S = A 1 / (1 - R)

Ejemplo de serie infinita

Considera la serie 1, 0.5, 0.25, 0.125,... cuya razón común r = 0.5.

S = 1 / (1 – 0.5)
  = 1 / 0.5
  = 2

Conclusión

Las secuencias y series son conceptos matemáticos poderosos que nos permiten reconocer patrones y calcular sumas rápidamente. Comprender las secuencias aritméticas y geométricas y sus series relacionadas proporciona una base sólida para estudios matemáticos más avanzados. Familiarizándose con las fórmulas y practicando con una variedad de ejemplos, resolver problemas que involucran secuencias y series se convierte en una tarea práctica y manejable.


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Comprender Secuencias y Series en Álgebra

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