Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра → Понимание последовательностей и рядов в алгебре ↓


Обозначение Сигма


Обозначение сигма - это краткий и мощный способ представления суммы нескольких членов. Оно широко используется в математике для работы с последовательностями и рядами. В математике 11 класса понимание обозначения сигма важно, поскольку оно упрощает процесс работы с длинными выражениями, включающими ряды, особенно при вычислении суммы большого количества членов.

Понимание основ обозначения сигма

Обозначение сигма использует греческую букву Σ (сигма) для представления суммы. Общая форма обозначения сигма:

Σ (от i=a до b) из f(i)

Это выражение читается как «сумма f(i) от i, равного a, до i, равного b». Здесь i - это индекс суммы, a - нижний предел, а b - верхний предел. Функция f(i) представляет собой члены, которые нужно сложить. Давайте разберем это более подробно.

Компоненты обозначения сигма

  • Индекс суммы (i): Переменная i является индексом, который начинается с нижнего предела a и увеличивается на 1, пока не достигнет верхнего предела b.
  • Нижний предел (a): Значение, с которого начинается индекс i.
  • Верхний предел (b): Значение, на котором индекс i останавливается.
  • Функция f(i): Выражение, определяемое в терминах индекса суммы. Каждое значение i подставляется в эту функцию для генерации каждого члена ряда.

Визуальный пример обозначения сигма

Давайте посмотрим, как работает обозначение сигма, используя простое сложение:

Σ (от i=1 до 4) из i

Это обозначение представляет собой сумму всех натуральных чисел от 1 до 4. Разделите это:

Σ i=1 4 I , 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Читая слева направо: установите i равным 1, вычислите член (который просто i), затем увеличьте i до 2 и повторите, пока i не станет 4. Затем сложите все эти члены.

Пример 1:

Рассмотрим ряд четных чисел от 2 до 10. В обозначении сигма это представляется следующим образом:

Σ (от i=1 до 5) из (2i)

Раскрывая это, мы имеем:

2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Свойства обозначения сигма

  • Линейность сложения: Если a и b - константы, тогда: 
    Σ (от i=a до b) из [c * f(i) + d * g(i)] = c * Σ (от i=a до b) из f(i) + d * Σ (от i=a до b) из g(i)
  • Разделение суммы: Сумма может быть разделена на следующие части: 
    Σ (от i=a до b) из f(i) = Σ (от i=a до c) из f(i) + Σ (от i=c+1 до b) из f(i)
  • Объединение сумм: Если индексы и пределы совпадают, суммы можно объединить: 
    Σ (от i=a до b) из f(i) + Σ (от i=a до b) из g(i) = Σ (от i=a до b) из [f(i) + g(i)]

Работа с арифметическими и геометрическими рядами

Арифметические ряды в обозначении сигма

Арифметический ряд - это последовательность чисел, в которой каждый член увеличивается на постоянное значение. n-й член арифметической последовательности можно выразить как:

a(n) = a + (n-1)d

где a - это первый член, а d - общее разность между членами. В обозначении сигма арифметический ряд выражается следующим образом:

Σ (i=1 до n) [a + (i-1)d]

Пример 2:

Рассмотрим арифметическую последовательность: 3, 6, 9, 12, ... до 15 членов.

Первый член - a 3, а общее разность d 3.

Выразите это в обозначении сигма:

Σ (от i=1 до 15) [3 + (i-1)*3]

Это дает нам сумму арифметического ряда.

Геометрические ряды в обозначении сигма

Геометрическая последовательность - это последовательность чисел, где каждый член умножается на постоянный множитель. n-й член геометрической последовательности можно выразить как:

a(n) = ar^(n-1)

где a - это первый член, а r - общий множитель. В обозначении сигма геометрическая последовательность представляется следующим образом:

Σ (от i=1 до n) [ar^(i-1)]

Пример 3:

Рассмотрим геометрический ряд: 5, 10, 20, 40, до 4 членов.

Первый член - a 5, а общий множитель r 2.

Выразите это в обозначении сигма:

Σ (от i=1 до 4) [5 * 2^(i-1)]

Это дает нам сумму геометрической последовательности.

Примеры и приложения

Пример 4:

Найдите сумму первых 10 нечетных чисел, используя обозначение сигма.

Σ (от i=1 до 10) [2i - 1]

Раскрывая это, мы получаем:

(2(1) - 1) + (2(2) - 1) + ... + (2(10) - 1)

Упрощение этого дает:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

Пример 5:

Найдите сумму Σ (от i=1 до 6) из (2i² + 3i).

Раскрывая, мы рассчитываем каждый член:

Для i=1: 2(1)² + 3(1) = 5
Для i=2: 2(2)² + 3(2) = 14
Для i=3: 2(3)² + 3(3) = 27
Для i=4: 2(4)² + 3(4) = 44
Для i=5: 2(5)² + 3(5) = 65
Для i=6: 2(6)² + 3(6) = 90

Сложив эти результаты:

5 + 14 + 27 + 44 + 65 + 90 = 245

Заключение

Обозначение сигма - это простой, но мощный математический инструмент, который предоставляет краткий способ записи длинных сумм. Независимо от того, работаете ли вы с арифметическими или геометрическими последовательностями или имеете дело с более сложными формулами, обозначение сигма помогает кратко представить эти суммы. Понимая, как манипулировать и интерпретировать обозначение сигма, вы можете легче решать сложные ряды и последовательности. Владение этой нотацией также является основой для углубленной математики, статистики и различных областей науки.

Продолжая практиковаться и работать с обозначением сигма, помните о необходимости разбирать выражения, распознавать пределы и функции, а также всегда проверять каждый член. Таким образом, вы сможете глубже понять последовательности и ряды, что будет неоценимо на вашем математическом пути.


Класс 11 → 1.1.7


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.1.6)
Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре
следующая (1.2) →
Комплексные числа

комментарии 



Обозначение Сигма

https://www.buddymath.com/g11/1.1.7?bmal=ru