11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano → Álgebra → Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra ↓


Notação sigma


A notação sigma é uma forma concisa e poderosa de representar a soma de múltiplos termos. É amplamente utilizada em matemática para trabalhar com sequências e séries. No 11º ano de matemática, entender a notação sigma é importante porque simplifica o processo de trabalhar com expressões longas que envolvem séries, especialmente ao calcular a soma de um grande número de termos.

Entendendo os fundamentos da notação sigma

A notação sigma usa a letra grega Σ (sigma) para representar a soma. A forma geral da notação sigma é:

Σ (de i=a até b) de f(i)

Essa expressão é lida como "a soma de f(i) de i igual a a até i igual a b". Aqui, i é o índice da soma, a é o limite inferior e b é o limite superior. A função f(i) representa os termos que devem ser somados. Vamos entender isso em mais detalhes.

Componentes da notação sigma

  • Índice da soma (i): A variável i é um índice que começa a partir do limite inferior a e aumenta em 1 até alcançar o limite superior b.
  • Limite inferior (a): O valor no qual o índice i começa.
  • Limite superior (b): O valor no qual o índice i para.
  • Função f(i): Expressão definida em termos do índice de soma. Cada valor de i é substituído nesta função para gerar cada termo da série.

Exemplo visual de notação sigma

Vamos ver como a notação sigma funciona usando uma adição simples:

Σ (de i=1 até 4) de i

Essa notação representa a soma de todos os números naturais de 1 a 4. Divida-a:

Σ i=1 4 I , 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Lendo da esquerda para a direita: defina i como 1, calcule o termo (que é simplesmente i), então aumente i para 2 e repita até i chegar a 4. Então, some todos esses termos.

Exemplo 1:

Considere a série de números pares de 2 a 10. Usando a notação sigma, ela é representada como:

Σ (de i=1 até 5) de (2i)

Expandindo isso, obtemos:

2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Propriedades da notação sigma

  • Linearidade da adição: Se a e b são constantes, então: 
    Σ (de i=a até b) de [c * f(i) + d * g(i)] = c * Σ (de i=a até b) de f(i) + d * Σ (de i=a até b) de g(i)
  • Divisão de Amount: A quantidade pode ser dividida nas seguintes partes: 
    Σ (de i=a até b) de f(i) = Σ (de i=a até c) de f(i) + Σ (de i=c+1 até b) de f(i)
  • Combinação de totais: Se os índices e limites forem iguais, os totais podem ser combinados: 
    Σ (de i=a até b) de f(i) + Σ (de i=a até b) de g(i) = Σ (de i=a até b) de [f(i) + g(i)]

Trabalhando com séries aritméticas e geométricas

Séries aritméticas na notação sigma

Uma série aritmética é uma sequência de números em que cada termo aumenta por um valor constante. O enésimo termo de uma sequência aritmética pode ser expresso como:

a(n) = a + (n-1)d

onde a é o primeiro termo, e d é a diferença comum entre os termos. Na notação sigma, uma série aritmética é representada como:

Σ (i=1 até n) [a + (i-1)d]

Exemplo 2:

Considere a série aritmética: 3, 6, 9, 12, ... até 15 termos.

O primeiro termo é a 3 e a diferença comum é d 3.

Expresse isso em notação sigma:

Σ (de i=1 até 15) [3 + (i-1)*3]

Isso nos dá a soma da série aritmética.

Séries geométricas na notação sigma

Uma série geométrica é uma sequência de números onde cada termo é multiplicado por um fator constante. O enésimo termo de uma sequência geométrica pode ser expresso como:

a(n) = ar^(n-1)

onde a é o primeiro termo, e r é a razão comum. Na notação sigma, a série geométrica é representada como:

Σ (de i=1 até n) [ar^(i-1)]

Exemplo 3:

Considere a série geométrica: 5, 10, 20, 40, até 4 termos.

O primeiro termo é a 5 e a razão comum é r 2.

Expresse isso em notação sigma:

Σ (de i=1 até 4) [5 * 2^(i-1)]

Isso nos dá a soma da série geométrica.

Exemplos e aplicações

Exemplo 4:

Encontre a soma dos primeiros 10 números ímpares usando a notação sigma.

Σ (de i=1 até 10) [2i - 1]

Expandindo isso, obtemos:

(2(1) - 1) + (2(2) - 1) + ... + (2(10) - 1)

O qual é simplificado da seguinte forma:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

Exemplo 5:

Encontre a soma de Σ (de i=1 até 6) de (2i² + 3i).

Expandindo, calculamos cada termo:

Para i=1: 2(1)² + 3(1) = 5
Para i=2: 2(2)² + 3(2) = 14
Para i=3: 2(3)² + 3(3) = 27
Para i=4: 2(4)² + 3(4) = 44
Para i=5: 2(5)² + 3(5) = 65
Para i=6: 2(6)² + 3(6) = 90

Somando esses resultados:

5 + 14 + 27 + 44 + 65 + 90 = 245

Conclusão

A notação sigma é uma ferramenta matemática simples, mas poderosa, que fornece uma forma concisa de escrever somas longas. Esteja você trabalhando com sequências aritméticas ou geométricas ou lidando com fórmulas mais complexas, a notação sigma ajuda a representar essas somas de forma concisa. Entendendo como manipular e interpretar a notação sigma, você pode resolver séries e sequências complexas de forma mais fácil. O domínio dessa notação também é fundamental para a matemática avançada, estatística e vários campos da ciência.

À medida que continua a praticar e trabalhar com a notação sigma, lembre-se de decompor as expressões, reconhecer limites e funções, e sempre verificar cada termo. Fazendo isso, você desenvolverá uma compreensão mais profunda de sequências e séries, o que será inestimável na sua jornada matemática.


11º ano → 1.1.7


U
username
0%
concluído em 11º ano

← Anterior (1.1.6)
Entendendo "soma ao infinito" na álgebra
Próximo (1.2) →
Números complexos

Comentários 



Notação sigma

https://www.buddymath.com/g11/1.1.7?bmal=pt