Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Notación sigma


La notación sigma es una forma concisa y poderosa de representar la suma de múltiples términos. Es ampliamente utilizada en matemáticas para trabajar con secuencias y series. En matemáticas de grado 11, comprender la notación sigma es importante porque simplifica el proceso de trabajar con expresiones largas que involucran series, especialmente al calcular la suma de un gran número de términos.

Comprender los fundamentos de la notación sigma

La notación sigma utiliza la letra griega Σ (sigma) para representar la suma. La forma general de la notación sigma es:

Σ (de i=a a b) de f(i)

Esta expresión se lee como "la suma de f(i) desde i igual a a hasta i igual a b". Aquí, i es el índice de la suma, a es el límite inferior, y b es el límite superior. La función f(i) representa los términos que se deben sumar. Entendamos esto con más detalle.

Componentes de la notación sigma

  • Índice de suma (i): La variable i es un índice que comienza desde el límite inferior a y aumenta en 1 hasta que alcanza el límite superior b.
  • Límite inferior (a): El valor en el cual el índice i comienza.
  • Límite superior (b): El valor en el cual el índice i se detiene.
  • Función f(i): Expresión definida en términos del índice de suma. Cada valor de i se sustituye en esta función para generar cada término de la serie.

Ejemplo visual de la notación sigma

Veamos cómo funciona la notación sigma usando una suma simple:

Σ (de i=1 a 4) de i

Esta notación representa la suma de todos los números naturales del 1 al 4. Divídelo:

Σ i=1 4 I , 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Leyendo de izquierda a derecha: establece i en 1, calcula el término (que es simplemente i), luego incrementa i a 2, y repite hasta que i sea 4. Luego, suma todos estos términos.

Ejemplo 1:

Considera la serie de números pares del 2 al 10. Usando la notación sigma se representa como:

Σ (de i=1 a 5) de (2i)

Al expandir esto se obtiene:

2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Propiedades de la notación sigma

  • Linealidad de la suma: Si a y b son constantes, entonces: 
    Σ (de i=a a b) de [c * f(i) + d * g(i)] = c * Σ (de i=a a b) de f(i) + d * Σ (de i=a a b) de g(i)
  • División de la cantidad: La cantidad puede dividirse en las siguientes partes: 
    Σ (de i=a a b) de f(i) = Σ (de i=a a c) de f(i) + Σ (de i=c+1 a b) de f(i)
  • Combinación de sumas: Si los índices y los límites coinciden, las sumas pueden combinarse: 
    Σ (de i=a a b) de f(i) + Σ (de i=a a b) de g(i) = Σ (de i=a a b) de [f(i) + g(i)]

Trabajando con series aritméticas y geométricas

Series aritméticas en notación sigma

Una serie aritmética es una secuencia de números en la cual cada término aumenta por un valor constante. El n-ésimo término de una secuencia aritmética se puede expresar como:

a(n) = a + (n-1)d

donde a es el primer término, y d es la diferencia común entre los términos. En notación sigma, una serie aritmética se representa de la siguiente manera:

Σ (i=1 a n) [a + (i-1)d]

Ejemplo 2:

Considera la serie aritmética: 3, 6, 9, 12, ... hasta 15 términos.

El primer término es a 3 y la diferencia común es d 3.

Exprésalo en notación sigma:

Σ (de i=1 a 15) [3 + (i-1)*3]

Esto nos da la suma de la serie aritmética.

Series geométricas en notación sigma

Una serie geométrica es una secuencia de números donde cada término se multiplica por un factor constante. El n-ésimo término de una secuencia geométrica se puede expresar como:

a(n) = ar^(n-1)

donde a es el primer término, y r es la razón común. En notación sigma, la serie geométrica se representa como:

Σ (de i=1 a n) [ar^(i-1)]

Ejemplo 3:

Considera la serie geométrica: 5, 10, 20, 40, hasta 4 términos.

El primer término es a 5 y la razón común es r 2.

Exprésalo en notación sigma:

Σ (de i=1 a 4) [5 * 2^(i-1)]

Esto nos da la suma de la serie geométrica.

Ejemplos y aplicaciones

Ejemplo 4:

Encuentra la suma de los primeros 10 números impares usando la notación sigma.

Σ (de i=1 a 10) [2i - 1]

Al expandir esto, obtenemos:

(2(1) - 1) + (2(2) - 1) + ... + (2(10) - 1)

La simplificación de lo cual es la siguiente:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

Ejemplo 5:

Encuentra la suma de Σ (de i=1 a 6) de (2i² + 3i).

Al expandir, calculamos cada término:

Para i=1: 2(1)² + 3(1) = 5
Para i=2: 2(2)² + 3(2) = 14
Para i=3: 2(3)² + 3(3) = 27
Para i=4: 2(4)² + 3(4) = 44
Para i=5: 2(5)² + 3(5) = 65
Para i=6: 2(6)² + 3(6) = 90

Sumando estos resultados:

5 + 14 + 27 + 44 + 65 + 90 = 245

Conclusión

La notación sigma es una herramienta matemática simple pero poderosa que proporciona una forma concisa de escribir sumas largas. Ya sea que estés trabajando con secuencias aritméticas o geométricas o lidiando con fórmulas más complejas, la notación sigma ayuda a representar estas sumas de manera concisa. Al comprender cómo manipular e interpretar la notación sigma, puedes resolver series y secuencias complejas más fácilmente. El dominio de esta notación también es fundamental para la matemática avanzada, la estadística y varios campos de la ciencia.

A medida que continúas practicando y trabajando con la notación sigma, recuerda descomponer las expresiones, reconocer los límites y las funciones, y siempre revisar cada término. Haciéndolo, desarrollarás una comprensión más profunda de las secuencias y series, lo que será invaluable en tu trayectoria matemática.


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