Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра → Понимание последовательностей и рядов в алгебре ↓


Понимание геометрических рядов


В математике ряд — это сумма членов последовательности. Геометрический ряд — это тип ряда, в котором каждый член является постоянным множителем предыдущего члена. Эта постоянная величина известна как «знаменатель прогрессии». В этой статье мы исследуем, что такое геометрический ряд и как мы можем найти сумму такого ряда. Мы также рассмотрим примеры, чтобы помочь укрепить понимание.

Определение геометрического ряда

Геометрическая прогрессия — это такая, в которой отношение между последовательными членами остается постоянным. Общая форма геометрической прогрессии может быть выражена как:

a, ar, ar 2, ar 3, ..., ar n-1

Здесь a - это первый член ряда, r - знаменатель прогрессии, и n - количество членов.

Сумма геометрического ряда

Сумма первых n членов геометрической прогрессии дается формулой:

S n = a(1 - r n) / (1 - r)

Следующие условия должны быть учтены:

  • Если |r| < 1, то ряд сходится и вышеприведенная формула применяется.
  • Если |r| > 1, то ряд не сходится.

Давайте выведем формулу шаг за шагом. Рассмотрим ряд:

S = a + ar + ar 2 + ... + ar n-1

Умножьте весь ряд на r:

rS = ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n

Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

S - rS = a - ar n

Вынесем S за скобки и решим:

S(1 - r) = a(1 - r n)

Таким образом, разделив обе стороны на (1 - r), мы получаем:

S = a(1 - r n) / (1 - r)

Пример

Пример 1: Конечный геометрический ряд

Найдите сумму геометрического ряда: 3, 6, 12, 24.

В этом случае:

  • Первый член a = 3
  • Знаменатель прогрессии r = 2 (так как 6 / 3 = 2)
  • Количество членов n = 4

Применим формулу для суммирования:

S n = 3(1 - 2 4) / (1 - 2)

S n = 3(1 - 16)/(-1)

S n = 3(-15)/(-1)

S n = 45

Таким образом, сумма ряда равна 45.

Пример 2: Бесконечный геометрический ряд

Рассмотрим ряд: 8, 4, 2, 1, ... продолжающийся до бесконечности.

В этом примере знаменатель прогрессии r = 0.5 (так как 4 / 8 = 0.5). Это геометрическая последовательность, где |r| < 1. Ряд будет сходиться, и мы можем найти его бесконечную сумму.

Формула для суммы бесконечного геометрического ряда:

S = a / (1 - r)

Таким образом, для нашего ряда:

S = 8 / (1 - 0.5)

S = 8 / 0.5

S = 16

Сумма бесконечного ряда равна 16.

Визуализация геометрического ряда

Давайте представим геометрический ряд. Рассмотрим конечный ряд 1 + 2 + 4 + 8. Здесь a = 1, и r = 2, где n = 4.

1 2 4 8 | | | | *------------*------------*------------*--------------->
1 2 4 8 | | | | *------------*------------*------------*--------------->

Точки выше показывают, как каждый член в два раза больше предыдущего. Сумма этого ряда:

S 4 = 1(1 - 2 4) / (1 - 2)

При вычислении, S 4 = 1(-15)/(-1) = 15.

Реальные приложения

Геометрические ряды появляются в различных ситуациях, таких как финансы для расчета сложных процентов, физика для обработки сигналов и компьютерные науки для анализа алгоритмов.

Пример: Сложный процент

Когда деньги вкладываются под сложный процент, они приносят проценты как на основную сумму, так и на проценты, накопленные в предыдущие периоды. Общая сумма после n лет может быть смоделирована с использованием геометрического ряда.

Если P - основная сумма, r - процентная ставка за период, и n - количество периодов:

A = P(1 + r) n

Таким образом, сложные проценты сами являются геометрическим рядом.

Рассмотрим пример, где $100 инвестировано под процентную ставку 5% в год на 3 года. Здесь:

  • P = 100
  • r = 0.05
  • n = 3

Сумма после 3 лет будет равна:

A = 100(1 + 0.05) 3

= 100(1.157625) = 115.76

Инвестиции выросли до $115.76.

Резюме

В заключение, мы рассмотрели основные аспекты геометрических рядов, от их определения и математической формулировки до реальных приложений и визуализации. Обладая базовыми знаниями о геометрических рядах, студенты могут уверенно решать различные математические задачи. Важно понимать как конечные, так и бесконечные геометрические ряды, так как они дают ценные знания о закономерностях роста и убывания во многих темах.

Работа с более сложными задачами позволит еще больше улучшить обучение и поможет понять более широкую роль геометрических категорий в различных контекстах.


Класс 11 → 1.1.4


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.1.3)
Понимание геометрических последовательностей
следующая (1.1.5) →
Сходимость и расходимость

комментарии 



Понимание геометрических рядов

https://www.buddymath.com/g11/1.1.4?bmal=ru