Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Entendiendo series geométricas


En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una secuencia. Una serie geométrica es un tipo de serie donde cada término es un múltiplo constante del término anterior. Esta constante se conoce como el "razón común". A través de este artículo, exploraremos qué es una serie geométrica y cómo podemos encontrar la suma de tales series. También veremos ejemplos para ayudar a fortalecer la comprensión.

Definición de series geométricas

Una progresión geométrica es aquella en la que la razón entre términos sucesivos permanece constante. La forma general de una progresión geométrica se puede expresar como:

a, ar, ar2, ar3, ..., arn-1

Aquí, a es el primer término de la serie, r es la razón común y n es el número de términos.

Suma de series geométricas

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica está dada por la fórmula:

Sn = a(1 - rn) / (1 - r)

Las siguientes condiciones deben tenerse en cuenta:

  • Si |r| < 1, entonces la serie converge y la fórmula anterior se aplica.
  • Si |r| > 1, entonces la serie no converge.

Veamos cómo derivar la fórmula paso a paso. Considere la serie:

S = a + ar + ar2 + ... + arn-1

Multiplique toda la serie por r:

rS = ar + ar2 + ar3 + ... + arn

Reste la segunda ecuación de la primera ecuación:

S - rS = a - arn

Factorice S y resuelva:

S(1 - r) = a(1 - rn)

Por lo tanto, dividiendo ambos lados por (1 - r), obtenemos:

S = a(1 - rn) / (1 - r)

Ejemplo

Ejemplo 1: Serie geométrica finita

Encuentre la suma de la serie geométrica: 3, 6, 12, 24.

En este caso:

  • Primer término a = 3
  • Razón común r = 2 (ya que 6 / 3 = 2)
  • Número de términos n = 4

Aplicando la fórmula para la suma:

Sn = 3(1 - 24) / (1 - 2)

Sn = 3(1 - 16)/(-1)

Sn = 3(-15)/(-1)

Sn = 45

Por lo tanto, la suma de la serie es 45.

Ejemplo 2: Serie geométrica infinita

Discutir la serie: 8, 4, 2, 1, ... continuando hasta el infinito.

En este ejemplo, la razón común r = 0.5 (ya que 4 / 8 = 0.5). Esta es una secuencia geométrica donde |r| < 1. La serie converge y podemos encontrar su suma infinita.

La fórmula para la suma de una serie geométrica infinita es:

S = a / (1 - r)

Por lo tanto, para nuestra serie:

S = 8 / (1 - 0.5)

S = 8 / 0.5

S = 16

La suma de la serie infinita es 16.

Visualización de series geométricas

Imaginemos una serie geométrica. Considere la serie finita 1 + 2 + 4 + 8. Aquí a = 1 y r = 2, donde n = 4.

1 2 4 8 | | | | *------------*------------*------------*--------------->
1 2 4 8 | | | | *------------*------------*------------*--------------->

Los puntos muestran cómo cada término es el doble del término anterior. La suma de esta serie es:

S4 = 1(1 - 24) / (1 - 2)

Al calcular, S4 = 1(-15)/(-1) = 15.

Aplicaciones en la vida real

Las series geométricas aparecen en una variedad de situaciones de la vida real, como las finanzas para calcular el interés compuesto, la física para el procesamiento de señales y la informática para analizar algoritmos.

Ejemplo: Interés compuesto

Cuando el dinero se invierte a interés compuesto, gana interés tanto sobre el monto principal como sobre el interés acumulado en períodos previos. El monto total después de n años se puede modelar usando una serie geométrica.

Si P es el monto principal, r es la tasa de interés por período y n es el número de períodos:

A = P(1 + r)n

Por lo tanto, el interés compuesto en sí forma una serie geométrica.

Considere un ejemplo donde se invierte $100 a una tasa de interés de 5% anual durante 3 años. Aquí:

  • P = 100
  • r = 0.05
  • n = 3

El monto después de 3 años será:

A = 100(1 + 0.05)3

= 100(1.157625) = 115.76

La inversión creció a $115.76.

Resumen

Para resumir, hemos cubierto los aspectos esenciales de las series geométricas, desde su definición y formulación matemática hasta aplicaciones del mundo real y visualización. Con un conocimiento fundamental de las series geométricas, los estudiantes pueden resolver varios problemas matemáticos con confianza. Es importante entender tanto las series geométricas finitas como infinitas, ya que proporcionan valiosas ideas sobre patrones de crecimiento y decadencia en muchos temas.

Participar en problemas más complejos mejorará aún más el aprendizaje y nos ayudará a entender el papel más amplio de las categorías geométricas en varios contextos.


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Entendiendo series geométricas

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