Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра → Понимание последовательностей и рядов в алгебре ↓


Понимание геометрических последовательностей


Геометрическая последовательность, также известная как геометрическая прогрессия, представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий член после первого находится путем умножения предыдущего члена на постоянную, известную как общий множитель. Эта концепция широко используется в различных математических анализах и имеет реальные приложения в таких областях, как финансы, информатика и физика.

Основы геометрической последовательности

Общая форма геометрической последовательности может быть выражена как:

a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ..., ar^n

Здесь:

  • a — первый член последовательности.
  • r — общий множитель, который является постоянной.
  • n — номер члена.

Каждый член получается путем умножения предыдущего члена на r.

Пример геометрической последовательности

Рассмотрим пример:

2, 6, 18, 54, ...

В этой последовательности первый член a — это 2, а общий множитель r — это 3. Чтобы получить следующий член, вы умножаете предыдущий член на 3.

Нахождение общего множителя

Общий множитель можно определить, разделив любой член последовательности на предыдущий член. Если последовательность является геометрической, общий множитель должен быть одинаковым для всех следующих пар членов. Формально это выражается как:

r = a /a r = a /a

Например, в последовательности 2, 6, 18, 54 :

  • r = 6/2 = 3
  • r = 18/6 = 3
  • r = 54/18 = 3

Общий член геометрической последовательности

n-й член геометрической последовательности можно найти по следующей формуле:

a_n = a * r^(n-1)

Где:

  • a_n — n-й член.
  • a — первый член.
  • r — общий множитель.
  • n — количество членов.

Рабочий пример

Предположим, что геометрическая последовательность начинается с 5, а общий множитель 2. Чтобы найти 5-й член (a_5):

a_5 = 5 * 2^(5-1) = 5 * 16 = 80

Следовательно, 5-й член равен 80.

Сумма геометрической последовательности

Сумма первых n членов геометрической последовательности может быть вычислена по следующей формуле:

S_n = a * (1-r^n)/(1-r)

Если общий множитель r находится между -1 и 1 (кроме 1), или если абсолютное значение r меньше 1, то бесконечную сумму можно вычислить по следующей формуле:

S = a / (1-r)

Пример конечной суммы

С использованием предыдущей последовательности 2, 6, 18, 54, найдите сумму первых 4 членов.

S_4 = 2 * (1-3^4)/(1-3) = 2 * (1-81)/(-2) = 2 * (80/2) = 80

Пример бесконечной суммы

Рассмотрим бесконечную геометрическую последовательность 5, 2.5, 1.25, ..., в которой r = 0.5:

S = 5 / (1-0.5) = 5 / 0.5 = 10

Графическое представление

Геометрические последовательности можно визуально представить, построив график, где ось x представляет номер члена, а ось y — значение члена. Простой пример показан ниже:

Номер члена Значение продолжительности

Проблемы и соображения

При работе с геометрическими последовательностями важно учитывать следующее:

  • Общий множитель r не должен быть равен нулю, так как это сделает все последующие члены равными нулю.
  • Если r отрицателен, последовательность будет чередовать положительные и отрицательные значения.

Пример с отрицательным общим множителем

Рассмотрим последовательность 4, -8, 16, -32, ... с a = 4, r = -2. Первые несколько членов показывают чередующийся узор:

  • a_1 = 4
  • a_2 = 4 * (-2) = -8
  • a_3 = -8 * (-2) = 16
  • a_4 = 16 * (-2) = -32

Применение геометрических последовательностей

Геометрические последовательности не только теоретические концепции, но и имеют важные применения в реальной жизни:

  • Финансы: Используется для моделирования сложных процентов и инвестиций.
  • Информатика: Алгоритмы, которые включают экспоненциальный рост или уменьшение.
  • Физика: Моделирование процессов экспоненциального распада.

Пример в финансах: сложные проценты

Если вы инвестируете $1,000 под ежегодную процентную ставку в 5%, сложную ежегодно, последовательность, показывающая баланс каждого года, будет геометрической:

1000, 1050, 1102.5, ...

Здесь, a = 1000 и r = 1.05.

Рассмотрим расчет баланса через 5 лет:

a_5 = 1000 * 1.05^4 ≈ 1215.51

Оставшаяся сумма через 5 лет будет приблизительно $1215.51.

Изучение вариаций в геометрических последовательностях

Геометрические последовательности могут быть изменены для представления более сложных явлений. Рассмотрите последовательности с переменными темпами роста или целевые последовательности, которые демонстрируют определенные паттерны роста. Путем корректировки общих множителей или начальных точек могут возникнуть захватывающие новые паттерны, что далее расширяет их применимость в моделировании сложных систем.

Заключение

Понимание геометрических последовательностей — это важная часть алгебры, которая имеет связь с многими другими математическими областями и реальными приложениями. С уверенным владением геометрическими последовательностями можно решать задачи от простого распознавания паттернов до сложного финансового моделирования и многого другого.


Класс 11 → 1.1.3


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.1.2)
Арифметические прогрессии
следующая (1.1.4) →
Понимание геометрических рядов

комментарии 



Понимание геометрических последовательностей

https://www.buddymath.com/g11/1.1.3?bmal=ru