Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Comprender las secuencias geométricas


Una secuencia geométrica, también conocida como una progresión geométrica, es una secuencia de números donde cada término después del primer término se encuentra multiplicando el término anterior por una constante, conocida como la razón común. Este concepto se utiliza ampliamente en varios análisis matemáticos y tiene aplicaciones en el mundo real en campos como las finanzas, la informática y la física.

Conceptos básicos de la secuencia geométrica

La forma general de una secuencia geométrica se puede expresar como:

a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ..., ar^n

Aquí:

  • a es el primer término de la secuencia.
  • r es la razón común, que es una constante.
  • n es el número del término.

Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por r.

Ejemplo de una secuencia geométrica

Consideremos un ejemplo:

2, 6, 18, 54, ...

En esta secuencia, el primer término es a 2 y la razón común r es 3. Para obtener el siguiente término, se multiplica el término anterior por 3.

Encontrar la razón común

La razón común se puede determinar dividiendo cualquier término en la secuencia por su término anterior. Si la secuencia es geométrica, la razón común debe ser la misma para todos los pares sucesivos de términos. Formalmente,

r = a /a r = a /a

Por ejemplo, en la secuencia 2, 6, 18, 54 :

  • r = 6/2 = 3
  • r = 18/6 = 3
  • r = 54/18 = 3

Término general de una secuencia geométrica

El enésimo término de una secuencia geométrica se puede encontrar utilizando la siguiente fórmula:

a_n = a * r^(n-1)

Dónde:

  • a_n es el enésimo término.
  • a es el primer término.
  • r es la razón común.
  • n es el número de términos.

Ejemplo de trabajo

Supongamos que una secuencia geométrica comienza con 5, y la razón común es 2. Para encontrar el 5to término (a5 ):

a_5 = 5 * 2^(5-1) = 5 * 16 = 80

Por lo tanto, el 5to término es 80.

Suma de una secuencia geométrica

La suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica se puede calcular utilizando lo siguiente:

S_n = a * (1-r^n)/(1-r)

Si la razón común r está entre -1 y 1 (excepto 1), o cuando el valor absoluto de r es menor que 1, la suma infinita se puede calcular utilizando:

S = a / (1-r)

Ejemplo de una suma finita

Usando la secuencia anterior 2, 6, 18, 54, encuentra la suma de los primeros 4 términos.

S_4 = 2 * (1-3^4)/(1-3) = 2 * (1-81)/(-2) = 2 * (80/2) = 80

Ejemplo de una suma infinita

Considera una secuencia geométrica infinita 5, 2.5, 1.25, ... en la que r = 0.5 :

S = 5 / (1-0.5) = 5 / 0.5 = 10

Representación gráfica

Las secuencias geométricas se pueden representar visualmente trazando los términos en un gráfico, donde el eje x representa el número del término y el eje y representa el valor del término. A continuación se ofrece una ilustración simple:

Número de término Duración del valor

Desafíos y consideraciones

Al trabajar con secuencias geométricas, es importante considerar lo siguiente:

  • La razón común r no debe ser cero, ya que esto haría que todos los términos posteriores fueran cero.
  • Si r es negativo, la secuencia alternará entre valores positivos y negativos.

Ejemplo con una razón común negativa

Considera la secuencia 4, -8, 16, -32, ... con a = 4 , r = -2. Los primeros términos muestran un patrón alternante:

  • a_1 = 4
  • a_2 = 4 * (-2) = -8
  • a_3 = -8 * (-2) = 16
  • a_4 = 16 * (-2) = -32

Aplicaciones de las secuencias geométricas

Las secuencias geométricas no son solo conceptos teóricos, sino que también tienen aplicaciones importantes en el mundo real:

  • Finanzas: Se utilizan para modelar intereses compuestos e inversiones.
  • Ciencias de la computación: Algoritmos que implican crecimiento o disminución exponencial.
  • Física: Modelado de procesos de desintegración exponencial.

Ejemplo en finanzas: interés compuesto

Si inviertes $1,000 a una tasa de interés anual del 5%, compuesta anualmente, la secuencia que muestra el saldo cada año es geométrica:

1000, 1050, 1102.5, ...

Aquí, a = 1000 y r = 1.05.

Calculemos el saldo después de 5 años:

a_5 = 1000 * 1.05^4 ≈ 1215.51

El monto restante después de 5 años sería aproximadamente $1215.51.

Explorando variaciones en las secuencias geométricas

Las secuencias geométricas se pueden alterar para representar fenómenos más complejos. Considera secuencias con tasas de crecimiento variables o secuencias objetivo que muestran patrones de crecimiento específicos. Al ajustar las razones comunes o las posiciones iniciales, emergen nuevos y fascinantes patrones, ampliando aún más su aplicabilidad en el modelado de sistemas complejos.

Conclusión

Comprender las secuencias geométricas es una parte esencial del álgebra que se conecta con muchos otros campos matemáticos y aplicaciones en el mundo real. Con un firme dominio de las secuencias geométricas, se pueden abordar problemas que van desde el reconocimiento de patrones simples hasta el modelado financiero complejo y más allá.


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