Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Алгебра → Понимание последовательностей и рядов в алгебре ↓


Понимание арифметических последовательностей


Введение в последовательность

В математике последовательность — это группа чисел, расположенных в определенном порядке. Каждое число в последовательности называется членом. Последовательности могут следовать за определенными шаблонами, что облегчает нам прогнозирование последующих чисел или описание последовательности с помощью формулы.

Что такое арифметическая последовательность?

Арифметическая последовательность — это тип последовательности, в которой разность между последовательными членами является постоянной. Эта разность называется «общей разностью». Когда вы знаете общую разность и хотя бы один член в последовательности, вы можете легко найти другие члены.

Нормальная форма арифметической последовательности

Арифметическая последовательность может быть описана формулой:

a_n = a_1 + (n - 1) cdot d

Где:

  • a_n — это n -ый член последовательности
  • a_1 — это первый член последовательности
  • d — общая разность
  • n — это позиция члена в последовательности

Общая разность

Общая разность является центральной в арифметических последовательностях. Это значение, которое постоянно добавляется (или вычитается) для получения следующего члена из предыдущего члена.

Если арифметическая последовательность имеет следующие члены: a_1, a_2, a_3, ..., то общая разность d может быть рассчитана как:

d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = ...

Пример

Рассмотрим последовательность: 5, 8, 11, 14, 17, ...

Здесь общая разность d равна 3, потому что:

8 - 5 = 3, 11 - 8 = 3, 14 - 11 = 3, 17 - 14 = 3

Таким образом, с общей разностью 3, после 5 следуют 8, 11, 14 и так далее.

Нахождение конкретного члена

Чтобы найти любой член в арифметической последовательности, мы можем использовать упомянутую выше формулу. Посмотрим, как найти конкретный член с примером.

Пример

Предположим, у нас есть арифметическая последовательность, где первый член a_1 = 3 и общая разность d = 5. Найдем 10-й член. 
a_{10} = a_1 + (10-1) cdot d = 3 + 9 cdot 5 = 3 + 45 = 48

Поэтому 10-й член это a_{10} равен 48.

Визуальное представление арифметических последовательностей

A_1 A_2 a_3 a_4 a_5 a_6

Линия, представленная выше, представляет арифметическую последовательность, где разность между последовательными кругами является общей разностью. Каждый круг представляет член.

Сумма арифметической последовательности

Во многих сценариях нам может понадобиться найти сумму арифметической последовательности. Для этого мы используем формулу суммы первых n членов арифметической последовательности, которая следующая:

S_n = (n / 2) cdot (a_1 + a_n)

Или же заменить a_n на формулу n-ого члена:

S_n = (n / 2) cdot [2a_1 + (n - 1) cdot d]

Пример

Продолжая предыдущий пример, найдем сумму первых 10 членов, где a_1 = 3 и d = 5. 
n = 10
a_1 = 3
Сначала найдем a_{10}:
a_{10} = a_1 + 9 cdot 5 = 48
Теперь найдем S_{10}:
S_{10} = (10 / 2) cdot (3 + 48) = 5 cdot 51 = 255

Таким образом, сумма первых 10 членов, S_{10}, равна 255.

Арифметические последовательности в реальной жизни

Арифметические последовательности не только теоретические конструкции, но и встречаются в практических ситуациях. Вот некоторые примеры из реальной жизни:

  • Ежемесячные сбережения, где одна и та же сумма откладывается каждый месяц.
  • Регулярное вложение фиксированной суммы денег на банковский счет.
  • Часы, которые двигаются вперед на несколько секунд каждый день, создавая предсказуемый шаблон.
  • Этапы строительства, где каждый этап требует одинакового количества шагов больше, чем предыдущий.

Заключение

Арифметические последовательности — это важная концепция в алгебре, предоставляющая основу для понимания более сложных последовательностей и рядов. Зная первый член и общую разность, вы можете создать полную последовательность и найти любой член или сумму, которую вы хотите.

Понимание этого основного понятия открывает двери для изучения более глубоких математических идей и практических приложений, делая арифметические последовательности важной частью математики.


Класс 11 → 1.1.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (1.1)
Понимание последовательностей и рядов в алгебре
следующая (1.1.2) →
Арифметические прогрессии

комментарии 



Понимание арифметических последовательностей

https://www.buddymath.com/g11/1.1.1?bmal=ru