Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Entendiendo las secuencias aritméticas


Introducción a la secuencia

En matemáticas, una secuencia es un grupo de números dispuestos en un orden específico. Cada número en la secuencia se llama término. Las secuencias pueden seguir patrones, lo que nos facilita predecir números consecutivos o describir la secuencia con una fórmula.

¿Qué es una secuencia aritmética?

Una secuencia aritmética es un tipo de secuencia en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante. Esta diferencia se llama "diferencia común". Cuando conoces la diferencia común y al menos un término de la secuencia, puedes encontrar fácilmente los otros términos.

Forma normal de una secuencia aritmética

La secuencia aritmética se puede describir mediante la fórmula:

a_n = a_1 + (n - 1) cdot d

Dónde:

  • a_n es el n-ésimo término de la secuencia
  • a_1 es el primer término de la secuencia
  • d es la diferencia común
  • n es la posición del término en la secuencia

Diferencia común

La diferencia común es el centro de las secuencias aritméticas. Es el valor que se suma (o resta) continuamente para obtener el siguiente término a partir del término anterior.

Si una secuencia aritmética tiene los siguientes términos: a_1, a_2, a_3, ..., entonces la diferencia común d se puede calcular como:

d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = ...

Ejemplo

Considera la secuencia: 5, 8, 11, 14, 17, ...

Aquí, la diferencia común d es 3 porque:

8 - 5 = 3, 11 - 8 = 3, 14 - 11 = 3, 17 - 14 = 3

Por lo tanto, con una diferencia común de 3, 5 es seguido por 8, 11, 14, y así sucesivamente.

Encontrando un término específico

Para encontrar cualquier término en una secuencia aritmética, podemos usar la fórmula mencionada anteriormente. Veamos cómo encontrar un término específico con un ejemplo.

Ejemplo

Supongamos que tenemos una secuencia aritmética donde el primer término a_1 = 3 y la diferencia común d = 5. Encontramos el 10º término. 
a_{10} = a_1 + (10-1) cdot d = 3 + 9 cdot 5 = 3 + 45 = 48

Por lo tanto, el 10º término es a_{10} 48.

Representación visual de las secuencias aritméticas

A_1 A_2 a_3 a_4 a_5 a_6

La línea dada arriba representa una secuencia aritmética donde la diferencia entre círculos consecutivos es la diferencia común. Cada círculo representa un término.

Suma de una secuencia aritmética

En muchos escenarios, podemos necesitar encontrar la suma de una secuencia aritmética. Para lograrlo, usamos la fórmula para la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética, que es:

S_n = (n / 2) cdot (a_1 + a_n)

Alternativamente, reemplaza a_n con la fórmula para el n-ésimo término:

S_n = (n / 2) cdot [2a_1 + (n - 1) cdot d]

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, encuentra la suma de los primeros 10 términos donde a_1 = 3 y d = 5. 
n = 10
a_1 = 3
Primero, encuentra a_{10}:
a_{10} = a_1 + 9 cdot 5 = 48
Ahora encuentra S_{10}:
S_{10} = (10 / 2) cdot (3 + 48) = 5 cdot 51 = 255

Por lo tanto, la suma de los primeros 10 términos, S_{10}, es 255.

Secuencias aritméticas en la vida real

Las secuencias aritméticas no son solo construcciones teóricas, sino que también pueden aparecer en situaciones prácticas. Aquí hay algunos ejemplos de la vida real:

  • Ahorros mensuales donde se ahorra la misma cantidad cada mes.
  • Depositar una suma fija de dinero regularmente en una cuenta bancaria.
  • Un reloj que avanza algunos segundos cada día, creando un patrón predecible.
  • Fases de construcción donde cada fase requiere el mismo número de pasos más que la anterior.

Conclusión

Las secuencias aritméticas son un concepto importante en álgebra, proporcionando una base para entender secuencias y series más complejas. Con el conocimiento del primer término y la diferencia común, puedes crear una secuencia completa y encontrar cualquier término o suma que desees.

Al entender este concepto fundamental, abres las puertas para explorar ideas matemáticas más profundas y aplicaciones prácticas, haciendo de las secuencias aritméticas una parte importante de las matemáticas.


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Entendiendo las secuencias aritméticas

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