Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario ↓


Programación lineal y optimización


La programación lineal y la optimización juegan un papel vital en campos como la economía, la ingeniería, el ámbito militar y los negocios. Proporciona un método para lograr los mejores resultados en un modelo matemático cuyos requisitos se representan mediante relaciones lineales. Echemos un vistazo más profundo a este tema para ver cómo funciona y cómo puede aplicarse de manera efectiva.

Entendiendo la programación lineal

La programación lineal (LP) es una técnica utilizada para encontrar el mejor resultado, como el máximo beneficio o el mínimo coste, dentro de un modelo matemático. Los requisitos o restricciones del modelo se expresan como relaciones lineales. Los componentes principales de un modelo de programación lineal son:

  • Función Objetivo: Es la función que necesita ser optimizada (maximizada o minimizada) según el objetivo.
  • Variables de Decisión: Estas son las variables cuyos valores decidiremos para alcanzar el resultado deseado de la función objetivo.
  • Restricciones: Estas son las limitaciones o límites que deben satisfacer las variables de decisión.

Representación matemática

Un problema de programación lineal puede ser expresado matemáticamente de la siguiente manera:

 Máximo (o mínimo): Z = c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn sujeto a: a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn <= b1 a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn <= b2 , am1*x1 + am2*x2 + ... + amn*xn <= bm xi >= 0 para todo i

En esta representación, c1, c2, ..., cn son los coeficientes de la función objetivo, aij son los coeficientes de las restricciones, b1, b2, ..., bm son constantes en el lado derecho de las restricciones, y xi son las variables de decisión.

Ejemplo del mundo real

Consideremos un problema empresarial simple. Supongamos que un fabricante produce dos productos, A y B. La empresa quiere maximizar sus beneficios. Cada unidad del producto A contribuye $40 al beneficio, y cada unidad del producto B contribuye $30. Para producir A y B, la empresa utiliza dos tipos de recursos, recurso 1 y recurso 2. Cada unidad del producto A requiere 1 unidad del recurso 1 y 3 unidades del recurso 2, mientras que cada unidad del producto B requiere 3 unidades del recurso 1 y 1 unidad del recurso 2. La empresa tiene un total de 9 unidades del recurso 1 y 7 unidades del recurso 2. La pregunta es, ¿cuántas unidades de los productos A y B debe fabricar la empresa para maximizar el beneficio?

Función objetivo y restricciones

Definamos las variables de decisión:

  • x1 = número de unidades del producto A
  • x2 = número de unidades del producto B

Basado en esta información, la función objetivo que queremos maximizar es:

 maxZ = 40*x1 + 30*x2

Basado en los recursos disponibles las restricciones son las siguientes:

 1*x1 + 3*x2 <= 9 (Recurso 1) 3*x1 + 1*x2 <= 7 (Recurso 2) , ...

Método gráfico

El método gráfico es una manera de resolver un problema de programación lineal en dos variables. Consiste en los siguientes pasos:

  1. Graficar las restricciones en el plano de coordenadas.
  2. Identificar la región factible, que es la intersección de todas las regiones de restricción.
  3. Trazar las líneas de la función objetivo (estas a menudo no son necesarias, pero ayudan a entender dónde ocurren los valores máximos/mínimos).
  4. Determinar las coordenadas de los puntos de esquina (vértices) de la región factible.
  5. Sustituir estos puntos en la función objetivo para averiguar qué punto da el máximo o mínimo valor.

Representación gráfica

Representemos las restricciones gráficamente. El método gráfico funciona bien para problemas LP en dos variables:

O(0,0) x2 x1

Este gráfico muestra la región factible como una intersección limitada por restricciones. Los puntos de esquina representan posibles soluciones. En el método gráfico, tienes que encontrar estos puntos de intersección manualmente o usando álgebra.

Encontrar puntos de esquina

Al resolver las restricciones, obtenemos los puntos de intersección:

 Intercepto de 1: (3,0) Intercepto de 2: (0,2.33) Intersección de 3: (1.5, 1.5)

Calculando la función objetivo

Ahora calcula la función objetivo en cada uno de estos puntos para encontrar el valor máximo:

  • En (3,0): Z = 40*3 + 30*0 = 120
  • En (0,2.33): Z = 40*0 + 30*2.33 = 69.9
  • En (1.5,1.5): Z = 40*1.5 + 30*1.5 = 105

El valor máximo de Z en el punto (3,0) es 120. Por lo tanto, la empresa debería fabricar 3 unidades del producto A y 0 unidades del producto B para maximizar el beneficio.

Técnicas de optimización

Más allá de los métodos gráficos para problemas de dos variables, los problemas de LP más complejos que involucran más variables o restricciones usualmente requieren soluciones algorítmicas. El método del simplex es un algoritmo que resuelve problemas de programación lineal de manera eficiente.

Método del Simplex

El método del simplex es un método popular para resolver problemas de programación lineal que implica una serie de iteraciones para moverse hacia la mejor solución, donde se cumple el criterio de optimización. Funciona moviéndose de un vértice o punto de esquina de la región factible a otro, mejorando el valor objetivo en cada paso.

Fundamentos del Simplex

El algoritmo del simplex se puede desglosar en algunos pasos:

  1. Convertir el problema LP a su forma estándar.
  2. Configurar el Tableau inicial.
  3. Seleccionar la variable entrante (el coeficiente más negativo en la fila de la función objetivo si se está maximizando).
  4. Seleccionar la variable omitida (la menor razón no negativa de las columnas de solución a la columna seleccionada).
  5. Realizar una operación de pivote para actualizar la tabla.
  6. Repetir los pasos 3-5 hasta encontrar la solución óptima o no se puedan hacer más mejoras.

Implementar el Simplex sin software puede ser complicado, pero la lógica detrás de él es crucial para entender la optimización en problemas lineales de varias variables.

Conclusión

La programación lineal y la optimización son herramientas esenciales en el campo de la investigación operativa, ayudando a las empresas, científicos y economistas a tomar las mejores decisiones basadas en los recursos disponibles. Al resolver problemas del mundo real, entender los mecanismos básicos, las fórmulas y los métodos gráficos y métodos como el método del simplex puede mejorar enormemente el proceso de toma de decisiones. Con este conocimiento fundamental, puedes abordar problemas más complejos y potencialmente integrar herramientas de software para manejar conjuntos de datos más grandes con más restricciones y variables.


Universitario → 9


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (8.5)
Relación de recurrencia
Siguiente (9.1) →
Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización

Comentarios 



Programación lineal y optimización

https://www.buddymath.com/ug/9?bmal=es