Funciones de variables reales

En el análisis real, las funciones de una variable real son los objetos fundamentales de estudio. Una función es una relación que asocia cada elemento de un conjunto, conocido como el dominio, con un elemento de otro conjunto, llamado el codominio. Al considerar una función de una variable real, tanto el dominio como el codominio son subconjuntos de los números reales R

Definiciones básicas

La función f definida en el conjunto D de números reales se expresa como:

f: D → R

Hay un único número real y = f(x) para cada x ∈ D Aquí, D es el dominio, y el conjunto de todas las salidas f(x) es el rango.

Ejemplo: función lineal

Considera una simple función lineal:

f(x) = 2x + 3

Para cada número real x, la función produce 2x + 3 Entonces, para x = 2, f(2) = 2(2) + 3 = 7.

Función polinómica

Las funciones polinómicas son otro ejemplo importante de funciones de una variable real. Es de la siguiente forma:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

donde a_0, a_1, ..., a_n son números reales, y n es un entero no negativo. Un tipo especial de función polinómica es la función cuadrática.

Ejemplo: Función cuadrática

Considera la función cuadrática:

f(x) = x^2 - 4x + 4

Esta función está representada por una parábola en el gráfico.

Trabajo continuo

Una función f es continua en un punto c si para cada número positivo ε, existe un número positivo δ tal que si |x - c| < δ, entonces |f(x) - f(c)| < ε Intuitivamente, el gráfico de una función continua se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Ejemplo: Función continua

Para la función f(x) = x^3, es continua para todos los números reales.

Funciones discontinuas

Una función f es discontinua en un punto c si no es continua en c. Esto significa que puede haber "saltos" o "huecos" en algunos puntos.

Ejemplo: Función escalonada

La función escalonada es un ejemplo clásico de una función discontinua:

f(x) = { 1 si x >= 0, 0 si x < 0 }

Función acotada

Se dice que una función f está acotada si existen números reales M y m tales que para todo x en el dominio, m ≤ f(x) ≤ M

Ejemplo: Función seno

Un ejemplo de una función acotada es la función seno, f(x) = sin(x) Está acotada porque para todos los números reales x, -1 ≤ sin(x) ≤ 1.

Funciones monótonas

Una función f se llama monótona si es absolutamente no decreciente o no creciente en su dominio. Si f es no decreciente, entonces para x_1 ≤ x_2, tenemos f(x_1) ≤ f(x_2) Si f es no creciente, entonces para x_1 ≤ x_2, tenemos f(x_1) ≥ f(x_2).

Ejemplo: Función exponencial

La función exponencial f(x) = e^x es un ejemplo de una función monótona creciente.

Función inversa

La función inversa esencialmente invierte los roles de la entrada y la salida. Si f es una función de A a B, entonces la función inversa f -1 es una función de B a A tal que para cada y ∈ B, f -1 (y) = x si y solo si f(x) = y.

Ejemplo: Función logarítmica

Considera la función exponencial f(x) = e^x. Su inversa es la función logaritmo natural f -1 (x) = ln(x).

Los gráficos de f(x) = e^x y f -1 (x) = ln(x) son simétricos con respecto a la línea y = x.

Reflexiones finales

Las funciones de variables reales forman la piedra angular del análisis real y sirven como herramientas esenciales en diversas disciplinas, incluyendo matemáticas, ingeniería y ciencia. Ya sean continuas, monótonas, acotadas o inversas, cada función describe una relación única entre entradas y salidas. Entender estos conceptos es crucial para analizar e interpretar relaciones matemáticas que involucran números reales.

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