पावर श्रेणी

गणित में, विशेष रूप से वास्तविक विश्लेषण के क्षेत्र में, पावर श्रेणी एक अनंत श्रेणी होती है जिसका रूप होता है:

 
S(x) = a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + a_3(x - c)^3 + ... = ∑(a_n(x - c)^n) 
S(x) = a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + a_3(x - c)^3 + ... = ∑(a_n(x - c)^n) 

जहां a_n श्रेणी के गुणांक को प्रदर्शित करता है, c एक स्थिरांक है, और x चल को प्रदर्शित करता है। श्रेणी c पर केंद्रित होती है।

घटक को समझना

गुणांक (a_n): ये स्थिरांक संख्याएँ होती हैं जो श्रेणी के प्रत्येक पद के गुणांक के रूप में कार्य करती हैं। ये श्रेणी के व्यवहार और इसकी अभिसरण या अपसरण को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती हैं।

केंद्र (c): यह वह मान होता है जिसके चारों ओर श्रेणी प्रसारित होती है। यदि c = 0 हो, तो यह श्रेणी 'मैक्लॉरिन श्रेणी' के रूप में सरल होती है। सामान्य रूप में, c श्रेणी को विभिन्न अंतरालों पर अधिक लचीलापन से कार्य का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है।

चल (x): यह उस कार्य का तर्क है जिसका श्रेणी प्रतिनिधित्व करता है, जिसे एक चल पद के रूप में वर्णित किया जाता है।

पावर श्रेणी की अभिसरण

पावर श्रेणी की अभिसरण x के मान और केंद्र के सापेक्ष गुणांकों के व्यवहार पर निर्भर करती है। चाहे पावर श्रेणी अभिसृत होती है या नहीं- यानी, चाहे वह एक सीमित संख्या में जुड़ती है या नहीं- यह प्रमुख रूप से परिमाण परीक्षण द्वारा निर्धारित होता है, जो अभिसरण त्रिज्या की गणना करता है।

अभिसरण त्रिज्या

अभिसरण त्रिज्या, R, केंद्र c के अंदर की दूरी होती है जिसके अंदर श्रेणी अभिसृत होती है। गणितीय रूप से, हम अक्सर सूत्र का उपयोग करते हैं:

 
R = 1 / limsup |a_n|^(1/n) 
R = 1 / limsup |a_n|^(1/n) 

यदि R सीमित है, तो अभिसरण का अंतराल (c - R, c + R) है। यदि R = 0 है, तो पावर श्रेणी केवल c पर अभिसरत होती है। यदि R = ∞ है, तो यह सभी x के लिए अभिसरत होती है।

पावर श्रेणी का उदाहरण

एक सरल पावर श्रेणी उदाहरण पर विचार करें:

 
S(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... = ∑(x^n) 
S(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... = ∑(x^n) 

यह श्रेणी c = 0 पर केंद्रित है। गुणांक a_n सभी 1 हैं। यह श्रेणी एक ज्यामितीय श्रेणी का प्रतिनिधित्व करती है जो |x| < 1 होने पर अभिसरत होती है और इसका योग होता है:

 
S(x) = 1 / (1 - x), |x| < 1 
S(x) = 1 / (1 - x), |x| < 1 

उदाहरणों के साथ विज़ुअलाइज़ेशन

आइए एक ज्यामितीय प्रगति उदाहरण का उपयोग करके पावर श्रेणी की अभिसरण को दृष्टिगत करें:

यह सरल आरेख सर्कल दिखाता है जो एक पावर श्रेणी के पदों का प्रतिनिधित्व करते हैं। अधिक पदों (अधिक सर्कल) को जोड़ने पर, श्रेणी y अक्ष पर एक विशिष्ट मान पर अभिसरण होती है, जो कि योग S(x) है।

पद अनुसार अवकलन और समाकलन

पावर श्रेणी की विशेष संपत्ति यह है कि इसे अभिसरण अंतराल के भीतर पद अनुसार अवकलित और समाकलित किया जा सकता है। यह विशेष रूप से कलन में, श्रेणी को निरूपण में सरल बनाता है। उदाहरण के लिए:

कदम दर कदम अवकलन

यदि:

 
S(x) = ∑(a_n(x - c)^n) 
S(x) = ∑(a_n(x - c)^n) 

तो इसके अवकलन है:

 
S'(x) = ∑(n * a_n * (x - c)^(n-1)) 
S'(x) = ∑(n * a_n * (x - c)^(n-1)) 

पद अनुसार समाकलन

पावर श्रेणी का अनिश्चित समाकलन है:

 
∫S(x) dx = ∑(a_n/(n+1) * (x - c)^(n+1)) + C 
∫S(x) dx = ∑(a_n/(n+1) * (x - c)^(n+1)) + C 

जहां C समाकलन का स्थिरांक है।

पावर श्रेणियों के अनुप्रयोग

पावर श्रेणियाँ गणितज्ञों और वैज्ञानिकों को जटिल कार्यों को मोटा मूल्यांकन करने के लिए उपकरण प्रदान करती हैं। उनका उपयोग अवकल समीकरणों के समाधान प्रदान करने, समाकलनों का मूल्यांकन करने, तथा इंजीनियरिंग, भौतिकी, और अर्थशास्त्र में कार्यों को विवेकपूर्ण बनाने में किया जाता है।

मैक्लॉरिन और टेलर श्रेणी

मैक्लॉरिन श्रेणी एक विशेष प्रकार की पावर श्रेणी होती है जिसका केंद्र 0 होता है। यह टेलर श्रेणी का एक विशेष मामला होता है, जिसमें:

 
f(x) = ∑(f^n(0) / n! * x^n) 
f(x) = ∑(f^n(0) / n! * x^n) 

और टेलर श्रेणी को इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:

 
f(x) = ∑(f^n(c) / n! * (x - c)^n) 
f(x) = ∑(f^n(c) / n! * (x - c)^n) 

यहां, f^n n क्रम की व्युत्पन्न को प्रदर्शित करता है जो केंद्र में या मैक्लॉरिन श्रेणी के लिए 0 पर मूल्यांकित होता है। ये विस्तार उन कार्यों के मूल्यों को खोजने में महत्वपूर्ण होते हैं जिन्हें अन्यथा आसानी से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण: घातीय फलन

घातीय फलन e^x को इसकी मैक्लॉरिन श्रेणी द्वारा निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

 
e^x = ∑(x^n / n!) 
e^x = ∑(x^n / n!) 

यह श्रेणी सभी वास्तविक मानों के लिए अभिसारित होती है।

निष्कर्ष

पावर श्रेणियाँ कार्यों को अनंत श्रेणी विस्तार के रूप में व्यक्त करने का एक सरल और शक्तिशाली तरीका प्रदान करती हैं। इसके पीछे की कुंजी इन श्रेणियों के व्यवहार और अभिसरण को समझना है। प्रत्येक पद के गुणांक और जिस बिंदु के चारों ओर श्रेणी केंद्रित होती है, को विचार कर, हम पावर श्रेणियों का उपयोग जटिल कार्यों को मोटा मूल्यांकन करने, अवकलन करने, और समाकलन करने में कर सकते हैं। इस प्रकार, यह सैद्धांतिक और व्यावहारिक गणित में आवश्यक भूमिका निभाते हैं।

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