集合和子集

在我们进入集合论和逻辑中的集合和子集的世界之前，让我们打下理解什么是集合的基础。在数学中，集合只是一个被视为一个整体的不同对象的集合。这些对象可以是任何东西，数字、符号，甚至是其他集合。定义集合的主要属性是它必须是明确的。这意味着您应该能够清楚地定义集合的组成。例如，我们太阳系中的行星集合组成一个集合。

集合的基本符号和术语

表示集合时，通常使用花括号{ }。集合中的对象，称为元素或成员，列在这些括号中。例如，如果我们有一个集合A，包含数字1、2和3，它表示为：

A = {1, 2, 3}

集合也可以通过括号内的描述性语言来定义。如果集合B包含小于10的所有偶数，我们将其写为：

B = {2, 4, 6, 8}

或者，我们可以通过指定集合成员必须满足的属性来使用简写。例如：

C = {x | x是小于10的偶数}

竖线|的意思是“使”。让我们用一个简单的例子来说明集合：

在此视觉示例中，圆表示称为A的集合，它包含元素1、2和3。

定义子集

子集是一个集合的一部分，包含该集合的一些或全部元素。如果集合A的所有元素也在集合B中，则A是B的一个子集。我们表示为：

A ⊆ B

如果A是B的子集，但A不等于B（即B包含A中没有的元素），则A是一个真正的子集：

A ⊂ B

用一个更具体的例子来说明这个概念：

假设集合X = {a, b, c}，集合Y = {a, b, c, d, e}。显然，集合X的每个元素也在集合Y中。因此，X是Y的子集，记作：

X ⊆ Y

但是，由于集合X不包含集合Y的所有元素（特别是'd'和'e'缺失），X是一个真正的子集：

X ⊂ Y

让我们设想一个子组：

在此图中，较小的圆表示集合X，显示它完全在表示集合Y的较大圆内。此视觉化再次显示X是Y的子集。

集合的种类

了解不同类型的集合对于为即将到来的讨论奠定基础是很重要的。以下是您可能遇到的类型：

空集：也称为零集，它没有任何元素。它用∅或{}表示。空集是每个集合的子集。
单一集合：只有一个元素的集合，例如{a}。
有限集：具有有限数量元素的集合，例如{1, 2, 3}。
无限集：具有无限数量元素的集合，例如所有自然数的集合{1, 2, 3, ...}。
全集：在任何给定的环境中，全集是所有可能元素的集合。它通常包括其他集合，记作U。全集的内容取决于上下文。可能是所有整数的集合，所有实数的集合等。

例如，考虑这些集合：

A = ∅ B = {5} C = {1, 2, 3, 4, 5} D = {1, 2, 3, ...} U = {所有整数}

这些集合中的每一个都符合上面给出的描述。集合A是空集。集合B是单一集合。集合C是有限集。集合D是无限集，集合U是全集。

集合的运算

可以在集合上执行许多操作，这对于理解子集和集合之间的关系是基础的。以下是一些简单但重要的操作：

并集

两个集合的并集是包含两个集合中所有元素的另一个集合。并集的符号是∪。如果A和B是集合，则它们的并集表示为A ∪ B。例如，如果A = {1, 2, 3}和B = {3, 4, 5}，则：

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

交集

两个集合的交集是两个集合共有的所有元素的集合。交集的符号是∩。对于集合A和B，交集表示为A ∩ B。如果A = {1, 2, 3}和B = {3, 4, 5}：

A ∩ B = {3}

差集

两个集合A和B的差集是A中存在但不在B中的所有元素的集合。记作A - B。使用我们先前的集合A和B：

A - B = {1, 2}

B - A = {4, 5}

补集

一个集合A的补集是全集U中不在A中的所有元素的集合。通常记作A'或A^c。设U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}和A = {1, 2, 3}：

A' = {0, 4, 5}

幂集

幂集是一个集合的所有可能子集的集合，包括集合本身和空集。如果一个集合A有n个元素，那么它的幂集将有2^n个元素。

考虑集合A = {1, 2}。A的幂集是：

ℙ(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}

注意所有四个可能的子集，包括空集{}和集合本身A。

逻辑集合关系

集合论与逻辑有很多重叠，理解它们的相互关系可以相当有见地。集合之间的关系表达逻辑关系，这在各种证明和逻辑评估中可能很重要。

集合的相等

两个集合，A和B，如果它们的元素完全相同，则称为相等。这意味着：

A = B ⇔ (∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B))

换句话说，如果A的每一个元素都在B中，而B的每一个元素都在A中，则这两个集合是相等的。

子群创建

一个逻辑关系是子集的形成。一个集合A是集合B的一个子集，如果A中的每一个元素x也在B中。

数学上表示为：

A ⊆ B ⇔ (∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B))