本科 → 几何简介 ↓

欧几里得几何

欧几里得几何是一个数学系统，归功于古希腊数学家欧几里得，他在公元前300年左右的作品《几何原本》中介绍了这一理论。这种几何形式处理平面，并且是我们理解物理世界的基础。它探索点、线、角、面和形状，如三角形、矩形和圆。

基本概念和定义

在进一步深入探讨之前，让我们了解一些欧几里得几何的基本概念。

点和线

点指的是空间中的一个位置。它没有形状或尺寸。在图中，我们用点表示点，并用大写字母标记，例如A或B。

线是一条在两个方向上无限延伸的直路。它具有一个维度，即长度，但没有厚度。在图中，我们通常用一条直线及其两端带有箭头表示线，用小写字母标记，例如线l，或用在其上的两个点标记，例如线AB。

平面

平面是一个无限向各个方向延伸的二维平面。它被想象成一张平坦的薄纸，像一张纸，永无止境。我们常用希腊字母标记平面，如平面α。

角

角由两条射线（角的两边）共享一个公共端点（顶点）形成。角描述了从一条射线到另一条射线的旋转度数。

以度（°）为单位的实际例子包括直角（90°）、锐角（小于90°）和钝角（大于90°）。

图中显示了顶点为A的角∠ABC

三角形

三角形是具有三条边的多边形，在欧几里得几何中起重要作用。三角形的类型由边长和内部角度决定。

三角形的类型

等边三角形：所有边和角相等，每个角为60°。
等腰三角形：两条边及它们对面的角相等。
不等边三角形：所有边和角的度量不同。

任何三角形的内角之和等于180°。

这是一个三角形ΔABC，其中角的和∠A + ∠B + ∠C = 180°。

圆

圆是平面中到固定点（称为圆心）距离相等的所有点的集合。基本部分包括半径、直径和周长。

圆的组成部分

圆心：从中测量距离的固定点。
半径：从圆心到任何点的距离。
直径：穿过圆的最长距离，是半径的两倍。
周长：圆的周围距离，由公式C = 2πr给出。

线OA是半径，其中O是圆心，A是圆上的一点。

主要定理和公理

欧几里得几何基于公理（假设真理）和定理（已证明的语句）。

欧几里得原理

欧几里得的五个公理是欧几里得几何的基础：

可以连接任何两点画一条直线。
有限线可以在两个方向上无限延伸。
可以以任何圆心和半径画一个圆。
所有直角相等。
如果一条线与两条线相交，形成一个小于180°的内角，则这两条线将最终在角小于180°的一侧相交。

勾股定理

对于直角三角形，斜边（直角对面一边）的平方等于其他两边的平方和：

a² + b² = c²

对于三角形ΔABC，如果∠C是直角，则a² + b² = c²，其中c为斜边。

相似性和全等性

相等

如果两个图形具有相同的形状，但不一定相同的大小，则称它们是相似的。对应的角相等，对应的边成比例。

一致性

如果两个图形具有相同的形状和大小，则称它们是全等的。所有对应的边和角相等。