特征值和特征向量

在线性代数的世界中，特征值和特征向量的概念起着至关重要的作用。在从工程和物理学到计算机科学和数据分析的各个领域中，它们都是基本的概念。让我们共同探讨什么是特征值和特征向量，它们如何运作，以及为什么它们如此重要。

介绍

线性代数的核心是矢量和矩阵的研究。矩阵本质上是一个数字网格，可以表示许多事物：变换、方程组等等。当您用矩阵乘以一个向量时，向量可能会被拉伸或压缩，其方向可能会改变。然而，在某些特殊情况下，向量只是被缩放——方向并没有改变。这些特殊的向量称为特征向量，而它们被拉伸或压缩的比例称为特征值。

定义

让我们更正式地定义这些术语。给定一个大小为nxn的方阵A：

    a * v = λ * v

这里，v是特征向量，λ（lambda）是特征值。上述方程实际上意味着当矩阵A作用于v时，它只是按比例λ缩放它。

通过可视化例子理解

考虑一个由矩阵表示的变换应用于一个向量空间。我们将通过一个简单的案例来可视化这一点。

例子 1

    a = | 3 0 |
        | 0 2 |

矩阵A参数化二维空间的向量。考虑一个向量v：

    v = |1|
        |0|

当A与v相乘时，结果向量为：

    A * V = | 3 0 | * | 1 | = | 3 |
            | 0 2 |   | 0 |   | 0 |

新向量A*v与v平行并且以3倍比例缩放，这就是它的特征值。

寻找特征值和特征向量

我们通过操纵以下方程来得到特征值和特征向量：

    a * v = λ * v

重写方程，我们得到：

    a * v − λ * v = 0

将v提出来：

    (A - λI) * V = 0

这里，I是与A相同大小的单位矩阵。对于非零解（除了零向量之外的解），(A - λI)的行列式必须为零：

    det(A - λI) = 0

这个方程被称为特征方程，求解它将给出特征值。

例子 2

考虑一个矩阵：

    a = | 4 1 |
        | 2 3 |

计算特征方程：

    det(A - λI) = det(| 4 - λ 1 |)
                       | 2 3 - λ |
    = (4 - λ)(3 - λ) - (1*2)
    = λ² - 7λ + 10

简化以找到特征值：

    λ² - 7λ + 10 = 0

解二次方程：

    λ = [7 ± sqrt(49 - 40)] / 2
    λ = 5, 2

现在，找出每个特征值的特征向量。

计算特征向量

对于 λ = 5：

    (a - 5i) * v = 0
    | 4 - 5 1 | * | x | = | 0 |
    | 2 3-5 |   | y |   | 0 |

    |-1 1| * |x| = |0|
    |2 -2|   |y|   |0|
    => 0x + 1y = 0 (或, y = x)

对于 λ = 5，特征向量的形式为：

    |X|
    |X|

对于 λ = 2：

    (a - 2i) * v = 0
    | 4 - 2 1 | * | x | = | 0 |
    | 2 3-2 |   | y |   | 0 |

    |2 1| * |x| = |0|
    |2 1|   |y|   |0|
    => 2x + 1y = 0 (或, y = -2x)

对于 λ = 2，特征向量的形式为：

    |X|
    |-2x|