Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

Graduação → Álgebra → Álgebra linear ↓


Decomposição em valores singulares


No campo da álgebra linear, a decomposição em valores singulares (SVD) é uma técnica fundamental que fornece um método poderoso para decompor uma matriz em seus componentes constituintes. A decomposição em valores singulares é amplamente utilizada em muitas aplicações em diversos campos, como processamento de sinais, estatística e aprendizado de máquina. Compreender a SVD pode melhorar significativamente a compreensão de como os dados se comportam em espaços de alta dimensão e ajuda em várias tarefas de redução de dimensionalidade e compressão de dados.

Introdução à decomposição em valores singulares

A decomposição em valores singulares é um método que decompõe uma matriz em três matrizes separadas. Dada uma matriz A com dimensão mxn, a SVD a expressa como:

A = UΣVᵀ

Onde:

  • U é uma matriz ortogonal mxm.
  • Σ (sigma) é uma matriz diagonal mxn.
  • V é uma matriz ortogonal nxn.

Aqui, U e V são matrizes ortogonais, ou seja, suas colunas são vetores ortonormais.

Exemplo visual

Considere uma matriz simples 2x2 A:

A = [[4, 0],
     [3, -5]]

Para uma matriz assim, a fatoração SVD resultará em:

U = [[1, 0],
     [0, 1]]

Σ = [[5, 0],
     [0, 3]]

Vᵀ = [[0, 1],
      [1, 0]]

Isso pode ser entendido como a decomposição da matriz A em rotações/reflexões representadas por U e V, e escalonamentos representados pela matriz diagonal Σ.

A

Entendendo os componentes

Matrizes ortogonais U e V

Matrizes ortogonais têm propriedades especiais. Para que uma matriz seja ortogonal, o produto escalar de cada par de colunas distintas deve ser zero, e o produto escalar de cada coluna consigo mesma deve ser um, o que significa que a norma é preservada. Para uma matriz U:

UᵀU = I

Da mesma forma para V:

vᵀv = i

Matrizes ortogonais são importantes de entender porque preservam as propriedades geométricas dos dados, como ângulos e comprimentos.

Matriz diagonal Σ

A matriz diagonal Σ contém os valores singulares da matriz original A. Esses valores podem ser vistos como fatores de alongamento ao longo das direções respectivas definidas pelas colunas de U e V.

Exemplo: Calculando a SVD manualmente

Considere a matriz:

A = [[3, 1],
     [1, 3]]

Aqui está um guia passo a passo para calcular a SVD.

Passo 1: Calcular AᵀA e AAᵀ

Primeiro, calcule o seguinte:

AᵀA = [[10, 6],
       [6, 10]]

AAᵀ = [[10, 6],
       [6, 10]]

Passo 2: Encontrar os autovalores e autovetores

Os autovalores dessas matrizes ajudarão a determinar os valores singulares, enquanto os autovetores fornecem as matrizes ortogonais.

Resolver {|AᵀA - λI| = 0} produz os autovalores λ₁ = 16, λ₂ = 4.

Σ assim se torna: 
Σ = [[4, 0],
     [0, 2]]

Passo 3: Construir V e U

A partir dos autovetores de AᵀA, calculamos V:

V = [[1/√2, -1/√2],
     [1/√2, 1/√2]]

Da mesma forma, a partir dos autovetores de AAᵀ, calculamos U:

U = [[1/√2, -1/√2],
     [1/√2, 1/√2]]

Aplicações da decomposição em valores singulares

Compressão de dados

A SVD pode ser usada para comprimir dados. Truncando as matrizes U, Σ e V para dimensões menores, uma compressão significativa de dados pode ser alcançada com perda mínima de informação.

Processamento de sinais

No processamento de sinais, os valores singulares podem ajudar a identificar a 'forma' e 'estrutura' de um sinal, filtrar ruído e extrair características importantes de forma eficaz.

Exemplo de SVD no processamento de imagens

Imagens em escala de cinza podem ser representadas como uma matriz. Usando a SVD, podemos comprimir uma imagem mantendo apenas os valores singulares principais. Essa técnica reduz o tamanho da imagem enquanto preserva suas características principais.

Considere uma matriz de imagem I:

I = [[255, 240, 230],
     [200, 180, 175],
     [215, 196, 188]]

Aplicando SVD:

U = [[0.68, -0.72],
     [0.68, 0.68]]

Σ = [[457, 0],
     [0, 25]]

Vᵀ = [[0.60, -0.80],
      [0.80, 0.60]]

Mantendo apenas o maior valor singular e seus vetores correspondentes, a imagem retém suas características principais mas reduz a representação dos dados.

Conclusão

Em suma, a Decomposição em Valores Singulares é uma ferramenta indispensável na álgebra linear, dando-nos o poder de decompor uma matriz em produtos de componentes mais simples e interpretáveis. Compreender a SVD não só melhora nossa intuição matemática, mas também nos equipa com ferramentas poderosas para tarefas práticas em campos como computação, ciência de dados e engenharia.


Graduação → 1.1.10


U
username
0%
concluído em Graduação

← Anterior (1.1.9)
Ortogonalidade e base ortonormal
Próximo (1.2) →
Álgebra abstrata

Comentários 



Decomposição em valores singulares

https://www.buddymath.com/ug/1.1.10?bmal=pt