Класс 8 → Степени и показатели ↓
Законы степеней
Правила работы со степенями — это правила, которые объясняют, как обращаться с математическими операциями, связанными со степенями чисел. Степени используются для представления чисел, умножаемых самих на себя определенное количество раз. В этом уроке мы подробно изучим эти правила и приведем множество примеров, которые помогут вам понять, как они работают в разных ситуациях. Начнем наше путешествие в удивительный мир степеней!
Понимание степеней
Прежде чем углубиться в правила, важно понять, что такое степени. Степень — это маленькое число, написанное в правом верхнем углу от основного числа, указывающее, сколько раз основное число было умножено само на себя.
Например, в выражении 5 3 5 — это основание, а 3 — это показатель степени. Это выражение означает умножение основного числа 5 на себя 3 раза:
5 × 5 × 5 = 125
Степени делают запись и обработку больших или повторяющихся умножений более простыми.
Законы степеней
Эти правила являются мощными инструментами для упрощения выражений и решения уравнений, связанных со степенями. Давайте рассмотрим каждое правило по порядку.
1. Произведение степеней
Правило произведения степеней гласит, что, когда вы умножаете два числа с одинаковым основанием, вы складываете их показатели степени. Математически это представлено следующим образом:
am × an = am+n
Рассмотрим пример:
2 3 × 2 4 = 2 3+4 = 2 7
Его анализ:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Обратите внимание, что основание остается тем же (2), и мы складываем показатели степеней: 3 + 4.
2. Частное степеней
Правило частного степеней гласит, что при делении двух чисел с одинаковым основанием вы вычитаете показатель степени делителя из показателя степени делимого:
am ÷ an = am-n
Вот пример:
5 4 ÷ 5 2 = 5 4-2 = 5 2
Разбор:
5 × 5 × 5 × 5 ÷ (5 × 5) = 5 × 5
Как видите, основание (5) остается неизменным, и мы сократили показатель степени 4 - 2 для упрощения выражения.
3. Степень степени
Согласно правилу степени степени, при возведении степени в степень вы умножаете показатели степеней:
(am)n = am × n
Пример:
(3 2) 3 = 3 2×3 = 3 6
Соответственно:
(3 × 3)3 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
4. Степень произведения
Правило степени произведения означает, что при возведении произведения в степень она применяется к каждому из сомножителей:
(a × b)n = an × bn
Возьмем этот пример:
(2 × 3) 2 = 2 2 × 3 2
Решение:
(2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2) × (3 × 3) = 4 × 9 = 36
5. Степень частного
Согласно правилу степени частного, если частное возводится в степень, то показатель степени применяется к числителю и знаменателю:
(a ÷ b)n = an ÷ bn
Пример:
(4 ÷ 2) 3 = 4 3 ÷ 2 3
Описание:
(4 ÷ 2) × (4 ÷ 2) × (4 ÷ 2) = (4 × 4 × 4) ÷ (2 × 2 × 2) = 64 ÷ 8 = 8
6. Нулевая степень
Правило нулевой степени интересно, потому что согласно этому правилу степень ненулевого основания равна нулю 1:
a0 = 1 (где a ≠ 0)
Пример:
6 0 = 1
Еще один пример:
1000 0 = 1
Это правило подчеркивает, что независимо от того, насколько сложно или велико значение, оно всегда будет упрощаться до 1, если возвести его в степень ноль.
7. Отрицательная степень
Правило отрицательной степени связано с обратными величинами. Правило говорит, что отрицательная степень означает, что вы берете обратное значение основания:
a-n = 1/an
Пример:
2 -3 = 1/2 3 = 1/8
Еще один пример:
5 -1 = 1/5
Это правило помогает упрощать выражения и превращать их в их обратные формы.
Упрощение выражений
Теперь, когда мы обсудили каждое правило, давайте посмотрим, как мы можем использовать их для упрощения сложных выражений. Ниже приведены некоторые примеры:
Упростить: 2 3 × 2 -1 ÷ 2 2
= 23 + (-1) - 2 = 20 = 1
Упростить: (3 2 × 4 2) 1/2
= (32)1/2 × (42)1/2 = 3 × 4 = 12
Заключение
Правила степеней являются фундаментальными в математике, предоставляя необходимые инструменты для упрощения выражений, решения уравнений и понимания экспоненциального роста и убывания. Будь то умножение степеней, их деление или работа с отрицательными и нулевыми степенями, эти правила удерживают нас на земле и обеспечивают ясность. С практикой вы обнаружите, что эти правила помогают вам решать множество математических задач более эффективно. Продолжайте экспериментировать с различными выражениями, чтобы укрепить свое понимание и повысить уверенность в использовании этих правил.
комментарии