Класс 8
  1. Системы счисления  1.1. Рациональные числа  1.2. Иррациональные числа  1.3. Действительное число  1.4. Свойства действительных чисел  1.4.1. Взаимозаменяемые активы  1.4.2. Свойство ассоциативности  1.4.3. Понимание распределительного свойства  1.5. Представление на числовой оси  1.6. Операции с действительными числами  1.6.1. Сложение и вычитание  1.6.2. Умножение и деление  1.7. Понимание рационализации в системах чисел  1.8. Понимание степеней и показателей  1.9. Квадратный корень и кубический корень
  2. Алгебра  2.1. Алгебраическое выражение  2.2. Идентификация и упрощение  2.2.1. Умножение биномиалов  2.2.2. Использование алгебраических тождеств в алгебре  2.3. Понимание факторизации в алгебре  2.3.1. Общие факты  2.3.2. Факторизация по группам  2.3.3. Понимание факторизации триномов  2.3.4. Понимание специальных произведений в факторизации  2.4. Линейные уравнения с одной переменной  2.4.1. Решение линейных уравнений  2.4.2. Задачи на линейные уравнения
  3. Введение в геометрию  3.1. Понимание четырехугольников  3.1.1. Понимание свойств четырехугольников  3.1.2. Типы четырехугольников  3.1.2.1. Четырехугольник  3.1.2.2. Прямоугольник  3.1.2.3. Социальный класс  3.1.2.4. Понимание ромба в видах четырехугольников  3.1.2.5. Понимание трапеции  3.2. Строительство  3.2.1. Построение четырехугольника  3.2.2. Построение биссектрисы  3.2.3. Создание угла  3.2.4. Построение треугольников  3.3. Симметрия и преобразование в геометрии  3.3.1. Отражения в симметриях и преобразованиях  3.3.2. Понимание вращений в симметрии и трансформациях в геометрии  3.3.3. Перевод  3.3.4. Симметрия в узорах
  4. Геометрические измерения  4.1. Площадь и Периметр  4.1.1. Понимание периметра многоугольников  4.1.2. Площадь треугольников  4.1.3. Площадь четырехугольника  4.1.4. Понимание площади кругов  4.2. Введение в площадь поверхности и объем  4.2.1. Кубы  4.2.2. Понимание кубоидов: Площадь поверхности и объем  4.2.3. Цилиндр  4.2.4. Конусы: Площадь поверхности и объем  4.2.5. Понимание сфер - площадь поверхности и объем
  5. Обработка данных  5.1. Организация данных  5.2. Таблица частотного распределения  5.3. Графическое представление данных  5.3.1. Гистограмма  5.3.2. Понимание гистограмм в управлении данными  5.3.3. Понимание круговых диаграмм: Комплексное руководство  5.3.4. Линейный график (добавлено)  5.4. Понимание вероятности  5.4.1. Введение в теорию вероятностей  5.4.2. Экспериментальная вероятность
  6. Координированная геометрия  6.1. Декартова плоскость  6.2. Чертеж точек в координатной геометрии  6.3. Координатная система  6.4. Расстояние между точками  6.5. Применения координатной геометрии
  7. Введение в графики  7.1. Линейные графики  7.2. Применения графиков  7.3. Диаграмма расстояние-время  7.4. Введение в графики скорость-время
  8. Сравнение величин  8.1. Понимание отношения и пропорции при сравнении количеств  8.2. Понимание процентов по сравнению с количествами  8.2.1. Понимание увеличения и уменьшения процентов  8.2.2. Скидка в процентах  8.2.3. Понимание прибыли и убытков в процентах  8.2.4. Понимание простого процента  8.2.5. Сложные проценты
  9. Степени и показатели  9.1. Законы степеней  9.2. Понимание отрицательных показателей  9.3. Понимание степеней и степеней в стандартной форме  9.4. Применение показателей степени
  10. Введение в квадраты и квадратные корни  10.1. Свойства квадратных чисел  10.2. Нахождение квадратного корня  10.2.1. Метод разложения на простые множители  10.2.2. Метод деления для нахождения квадратного корня  10.3. Оценка квадратного корня
  11. Введение в кубы и кубические корни  11.1. Свойства кубических чисел  11.2. Нахождение кубических корней  11.2.1. Метод разложения на простые множители для нахождения кубических корней

Класс 8 ↓


Координированная геометрия


Введение

Координированная геометрия, иногда называемая аналитической геометрией, сочетает в себе алгебру и геометрию для описания положения и взаимосвязей фигур на плоскости. Эта ветвь математики полагается на систему координат для уникальной идентификации положения точек. Это позволяет нам использовать алгебраические методы для решения геометрических задач.

Декартова плоскость

Наиболее распространенной системой координат в координированной геометрии является декартова плоскость. Она состоит из двух числовых линий, которые перпендикулярны друг другу и пересекаются в своих нулевых точках. Эти числовые линии называются осями. Горизонтальная линия — это ось x, а вертикальная линия — это ось y.

Точка, где сходятся ось x и ось y, называется началом координат, обозначается координатами (0, 0). Каждая точка на плоскости связана с упорядоченной парой чисел, которые часто называют ее координатами.

Пример: Понимание декартовой плоскости

Рассмотрим следующее изображение декартовой плоскости:

(0,0) (1,1)

На этой диаграмме красный круг с координатами (1, 1) находится на одну единицу вправо и одну единицу вверх от начала координат. Каждое перемещение вправо увеличивает координату x, и каждое перемещение вверх увеличивает координату y.

Построение точек

Чтобы построить точку на декартовой плоскости, вам нужно знать ее координаты (x, y).

  • Координата x, или абсцисса, представляет положение точки вдоль оси x. Положительные значения указывают на позиции справа от начала координат, в то время как отрицательные значения указывают на позиции слева.
  • Координата y представляет положение точки вдоль оси y. Положительные значения указывают на позиции выше начала координат, а отрицательные значения — ниже.

Пример: Построение точек

Например, давайте построим точки (2, 3), (-1, -2) и (0, -4):

(2, 3) (-1, -2) (0, -4)

На этой визуализации:

  • Точка (2, 3) находится на 2 единицы вправо от оси y и на 3 единицы выше оси x.
  • Точка (-1, -2) находится на 1 единицу влево от оси y и на 2 единицы ниже оси x.
  • Точка (0, -4) находится точно на оси y и на 4 единицы ниже оси x.

Квадрант

Декартова плоскость делится на четыре квадранта осями x и y:

  1. Квадрант I: обе координаты x и y положительны.
  2. Квадрант II: x отрицателен, а y положителен.
  3. Квадрант III: обе координаты x и y отрицательны.
  4. Четвертый квадрант: x положителен, а y отрицателен.
Квадрант I Квадрант II Квадрант III четвертый квадрант

Формула расстояния

Расстояние между любыми двумя точками на декартовой плоскости можно рассчитать с помощью формулы расстояния. Допустим, у нас есть две точки: A (x1, y1) и B (x2, y2). Расстояние d между этими точками можно рассчитать следующим образом:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Пример: Нахождение расстояния

Давайте найдем расстояние между точками (3, 4) и (7, 1):

Пусть A = (3, 4) и B = (7, 1)
d = √((7 - 3)² + (1 - 4)²) = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Расстояние между этими двумя точками составляет 5 единиц.

Формула середины отрезка

Середину между двумя точками на декартовой плоскости можно легко рассчитать. Допустим, у нас есть две точки: точка A (x1, y1) и точка B (x2, y2), середина M рассчитывается по формуле:

M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Пример: Вычисление середины отрезка

Рассмотрим точки (1, 2) и (-3, 4). Давайте найдем их середину:

Пусть A = (1, 2) и B = (-3, 4)
M = ((1 + (-3)) / 2, (2 + 4) / 2) = (-2 / 2, 6 / 2) = (-1, 3)

Середина отрезка находится в точке (-1, 3).

Уравнение прямой

Одним из основных результатов координированной геометрии является способность находить уравнение прямой. Наиболее распространенная форма уравнения прямой — формула наклона-перехвата:

y = mx + c
  • m — это наклон прямой, который указывает на ее глубину.
  • c — это y-перехват, точка, где прямая пересекает ось y.

Вторая форма — формула точки-наклона, которая особенно полезна, когда нам известны точки на прямой и ее наклон:

y - y1 = m(x - x1)

где (x1, y1) — это известная точка на прямой.

Пример: Написание уравнения прямой

Допустим, мы знаем, что прямая проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 4. Используя формулу точки-наклона:

y - 3 = 4(x - 2)

Раскрывая это уравнение, получаем:

y = 4x - 8 + 3 = 4x - 5

Уравнение прямой выглядит как y = 4x - 5.

Наклон прямой

Наклон прямой измеряет ее наклонение к горизонтали. Он рассчитывается как отношение изменения по вертикали к изменению по горизонтали между двумя точками на прямой:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Пример: Вычисление наклона

Рассмотрим точки (6, 2) и (8, 6):

m = (6 - 2) / (8 - 6) = 4 / 2 = 2

Наклон прямой, проходящей через эти точки, равен 2.

Применения координированной геометрии

Координированная геометрия имеет множество применений, начиная от графического представления фигур до решения реальных задач, связанных с расстоянием, траекториями и многим другим. Многие инженерные, архитектурные и физические задачи в значительной степени полагаются на принципы координированной геометрии.

Заключение

Координированная геометрия — это мост между алгеброй и геометрией, который облегчает понимание свойств пространства и формы через численные и аналитические подходы. Она предоставляет студентам инструменты, необходимые для изучения математических концепций и решения практических задач, закладывая основу для более продвинутой математики и смежных дисциплин.

По мере продвижения в изучении математики овладение координированной геометрией укрепит ваши навыки решения задач, что облегчает понимание более сложных тем в вашем будущем обучении.


Класс 8 → 6


U
username
0%
завершено в Класс 8

← предыдущая (5.4.2)
Экспериментальная вероятность
следующая (6.1) →
Декартова плоскость

комментарии 



Координированная геометрия

https://www.buddymath.com/g8/6?bmal=ru