8º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionais  1.2. Números irracionais  1.3. Número real  1.4. Propriedades dos números reais  1.4.1. Ativos permutáveis  1.4.2. Propriedade associativa  1.4.3. Compreendendo a propriedade distributiva  1.5. Representação na reta numérica  1.6. Operações com números reais  1.6.1. Adição e subtração  1.6.2. Multiplicação e divisão  1.7. Compreendendo a racionalização em sistemas numéricos  1.8. Entendendo expoentes e potências  1.9. Raiz quadrada e raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressão Algébrica  2.2. Identificação e simplificação  2.2.1. Multiplicação de binômios  2.2.2. Uso das identidades algébricas na álgebra  2.3. Compreendendo a fatoração em álgebra  2.3.1. Fatos gerais  2.3.2. Fatoração por agrupamento  2.3.3. Compreendendo a fatoração de trinômios  2.3.4. Compreendendo produtos especiais na fatoração  2.4. Equações lineares em uma variável  2.4.1. Resolvendo equações lineares  2.4.2. Problemas de palavras em equações lineares
  3. Introdução à geometria  3.1. Compreendendo os quadriláteros  3.1.1. Compreendendo as propriedades dos quadriláteros  3.1.2. Tipos de quadriláteros  3.1.2.1. Quadrilátero  3.1.2.2. Retângulo  3.1.2.3. Classe social  3.1.2.4. Entendendo o losango nos tipos de quadriláteros  3.1.2.5. Compreendendo o trapézio  3.2. Construção  3.2.1. Construção de um quadrilátero  3.2.2. Construção de bissetriz  3.2.3. Criando um ângulo  3.2.4. Construção de triângulos  3.3. Simetria e transformação em geometria  3.3.1. Reflexões em simetrias e transformações  3.3.2. Compreendendo rotações na simetria e transformações na geometria  3.3.3. Tradução  3.3.4. Simetria em padrões
  4. Mensuração  4.1. Área e Perímetro  4.1.1. Entendendo o perímetro de polígonos  4.1.2. Área de triângulos  4.1.3. Área de um quadrilátero  4.1.4. Compreendendo a área dos círculos  4.2. Introdução à área de superfície e volume  4.2.1. Cubos  4.2.2. Compreendendo paralelepípedos: Área de superfície e volume  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Cones: Área de superfície e volume  4.2.5. Compreendendo esferas - área de superfície e volume
  5. Manipulação de dados  5.1. Organizando os dados  5.2. Tabela de distribuição de frequência  5.3. Representação gráfica de dados  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Compreendendo histogramas na gestão de dados  5.3.3. Compreendendo gráficos de pizza: Um guia abrangente  5.3.4. Gráfico de linha (adicionado)  5.4. Compreendendo a probabilidade  5.4.1. Introdução à probabilidade  5.4.2. Probabilidade experimental
  6. Geometria coordenada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Desenho de pontos na geometria coordenada  6.3. Sistema de Coordenadas  6.4. Distância entre pontos  6.5. Aplicações de geometria analítica
  7. Introdução aos gráficos  7.1. Gráficos lineares  7.2. Aplicações de gráficos  7.3. Diagrama de distância-tempo  7.4. Introdução aos gráficos de velocidade-tempo
  8. Comparação de quantidades  8.1. Compreendendo razão e proporção na comparação de quantidades  8.2. Compreendendo porcentagens em comparação com quantidades  8.2.1. Compreendendo porcentagens de aumento e diminuição  8.2.2. Desconto percentual  8.2.3. Compreendendo Lucro e Perda em Percentagem  8.2.4. Compreendendo o juro simples  8.2.5. Juros compostos
  9. Expoentes e potências  9.1. Leis dos expoentes  9.2. Compreendendo expoentes negativos  9.3. Compreendendo expoentes e expoentes em notação científica  9.4. Aplicações de expoentes
  10. Introdução aos quadrados e raízes quadradas  10.1. Propriedades dos números quadrados  10.2. Encontrando a raiz quadrada  10.2.1. Método de fatoração em números primos  10.2.2. Método de divisão para encontrar a raiz quadrada  10.3. Estimando a raiz quadrada
  11. Introdução aos cubos e raízes cúbicas  11.1. Propriedades dos números cúbicos  11.2. Encontrar raízes cúbicas  11.2.1. Método de fatoração primária para encontrar raízes cúbicas

8º ano ↓


Geometria coordenada


Introdução

Geometria coordenada, às vezes também conhecida como geometria analítica, combina álgebra e geometria para descrever a posição e as relações das figuras em um plano. Este ramo da matemática depende de um sistema de coordenadas para identificar de forma única a localização dos pontos. Isso nos permite usar métodos algébricos para resolver problemas geométricos.

Plano cartesiano

O sistema de coordenadas mais comum usado na geometria coordenada é o plano cartesiano. Ele consiste em duas linhas numéricas que são perpendiculares entre si e se intersectam em seus pontos zero. Essas linhas numéricas são chamadas de eixos. A linha horizontal é o eixo x e a linha vertical é o eixo y.

O ponto onde o eixo x e o eixo y se encontram é chamado de a origem, representada pelas coordenadas (0, 0). Cada ponto no plano está associado a um par ordenado de números, frequentemente chamado de suas coordenadas.

Exemplo: Entendendo o plano cartesiano

Considere a seguinte representação do plano cartesiano:

(0,0) (1,1)

Neste diagrama, o círculo vermelho com coordenadas (1, 1) está localizado uma unidade à direita e uma unidade acima da origem. Cada movimento para a direita aumenta a coordenada x e cada movimento para cima aumenta a coordenada y.

Traçando pontos

Para traçar um ponto no plano cartesiano, você precisa saber suas coordenadas (x, y).

  • A coordenada x, ou abscissa, representa a posição do ponto ao longo do eixo x. Valores positivos indicam posições à direita da origem, enquanto valores negativos indicam posições à esquerda.
  • A coordenada y representa a posição do ponto ao longo do eixo y. Valores positivos colocam o ponto acima da origem, enquanto valores negativos o colocam abaixo.

Exemplo: Traçando pontos

Por exemplo, vamos traçar os pontos (2, 3), (-1, -2) e (0, -4):

(2, 3) (-1, -2) (0, -4)

Nesta representação visual:

  • O ponto (2, 3) está 2 unidades à direita do eixo y e 3 unidades acima do eixo x.
  • O ponto (-1, -2) está 1 unidade à esquerda do eixo y e 2 unidades abaixo do eixo x.
  • O ponto (0, -4) está exatamente no eixo y e 4 unidades abaixo do eixo x.

Quadrante

O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes pelo eixo x e eixo y:

  1. Quadrante I: Ambas as coordenadas x e y são positivas.
  2. Quadrante II: x é negativo e y é positivo.
  3. Quadrante III: Ambas as coordenadas x e y são negativas.
  4. Quarto quadrante: x é positivo e y é negativo.
Quadrante I Quadrante II Quadrante III quarto quadrante

Fórmula da distância

A distância entre quaisquer dois pontos no plano cartesiano pode ser calculada usando a fórmula da distância. Suponha que temos dois pontos: A (x1, y1) e B (x2, y2). A distância d entre esses pontos pode ser calculada da seguinte forma:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Exemplo: Encontrando a distância

Vamos encontrar a distância entre os pontos (3, 4) e (7, 1):

Seja A = (3, 4) e B = (7, 1)
d = √((7 - 3)² + (1 - 4)²) = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

A distância entre esses dois pontos é de 5 unidades.

Fórmula do ponto médio

O ponto médio entre dois pontos no plano cartesiano pode ser facilmente calculado. Suponha que temos dois pontos: ponto A (x1, y1) e ponto B (x2, y2), o ponto médio M é dado por:

M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Exemplo: Calculando o ponto médio

Considere os pontos (1, 2) e (-3, 4). Vamos encontrar seu ponto médio:

Seja A = (1, 2) e B = (-3, 4)
M = ((1 + (-3)) / 2, (2 + 4) / 2) = (-2 / 2, 6 / 2) = (-1, 3)

O ponto médio está em (-1, 3).

Equação da linha

Um dos principais resultados da geometria coordenada é a capacidade de encontrar a equação de uma linha. A forma mais comum da equação de uma linha é a forma da inclinação-intercepto:

y = mx + c
  • m representa a inclinação da linha, que indica sua profundidade.
  • c é o intercepto no eixo y, onde a linha intersecta o eixo y.

A segunda forma é a forma ponto-inclinação, que é particularmente útil quando conhecemos os pontos na linha e sua inclinação:

y - y1 = m(x - x1)

onde (x1, y1) é um ponto conhecido na linha.

Exemplo: Escrevendo a equação de uma linha

Suponha que sabemos que uma linha passa pelo ponto (2, 3) e tem inclinação de 4. Usando a fórmula ponto-inclinação:

y - 3 = 4(x - 2)

Expandindo essa equação temos:

y = 4x - 8 + 3 = 4x - 5

A equação da linha é y = 4x - 5.

Inclinação da linha

A inclinação de uma linha mede sua inclinação em relação à horizontal. É calculada como a razão entre a variação vertical e a variação horizontal entre dois pontos na linha:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Exemplo: Calculando a inclinação

Considere os pontos (6, 2) e (8, 6):

m = (6 - 2) / (8 - 6) = 4 / 2 = 2

A inclinação da linha que passa por esses pontos é 2.

Aplicações da geometria coordenada

A geometria coordenada tem muitas aplicações, desde a representação gráfica de formas até a solução de problemas do mundo real envolvendo distâncias, trajetórias e mais. Muitos problemas de engenharia, arquitetura e física dependem bastante dos princípios da geometria coordenada.

Conclusão

A geometria coordenada é a ponte entre álgebra e geometria, facilitando a compreensão do espaço e das propriedades das formas por meio de abordagens numéricas e analíticas. Ela dota os estudantes das ferramentas necessárias para explorar conceitos matemáticos e resolver desafios práticos, estabelecendo uma base para matemática mais avançada e áreas afins.

À medida que você avança em seus estudos matemáticos, dominar a geometria coordenada fortalecerá suas habilidades de resolução de problemas, tornando mais fácil compreender tópicos mais complexos em sua futura jornada de aprendizado.


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Geometria coordenada

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