座標幾何学

紹介

座標幾何学、または解析幾何学とも呼ばれるものは、代数と幾何を組み合わせて平面上の図形の位置と関係性を記述します。この数学の分野は、座標系を使用して点の位置を一意に識別することに依拠します。これにより、代数的手法を使用して幾何問題を解決することができます。

デカルト平面

座標幾何学で最も一般的に使用される座標系はデカルト平面です。この平面は互いに直角に交わる2つの数直線で構成され、それらのゼロ点で交差します。これらの数直線は軸と呼ばれます。水平の直線はx軸であり、垂直の直線はy軸です。

x軸とy軸が交わる点は原点と呼ばれ、座標(0, 0)で表されます。平面内のすべての点は、通常その座標と呼ばれる順序付けられた数のペアに関連付けられています。

例: デカルト平面の理解

デカルト平面の次の描写を考えてみましょう:

この図では、座標(1, 1)の赤い円は、原点から右に1単位、上に1単位位置しています。右への移動はx座標を増加させ、上への移動はy座標を増加させます。

点のプロット

デカルト平面上に点をプロットするには、その座標(x, y)を知っている必要があります。

x座標または横座標は、点のx軸に沿った位置を表します。正の値は原点の右側の位置を示し、負の値は左側の位置を示します。
y座標は、点のy軸に沿った位置を表します。正の値は点を原点の上に配置し、負の値は下に配置します。

例: 点のプロット

例として、点(2, 3)、(-1, -2)、(0, -4)をプロットしてみましょう:

この視覚的表現では:

点(2, 3)はy軸の右に2単位、x軸の上に3単位位置しています。
点(-1, -2)はy軸の左に1単位、x軸の下に2単位位置しています。
点(0, -4)はy軸上にあり、x軸の下に4単位位置しています。

象限

デカルト平面は、x軸とy軸によって4つの象限に分割されます:

第1象限: xとyの座標が両方とも正です。
第2象限: xが負でyが正です。
第3象限: xとyの座標が両方とも負です。
第4象限: xが正でyが負です。

距離の公式

デカルト平面上の任意の2点間の距離は距離の公式を使用して計算できます。2点を持っていると仮定しましょう: A (x₁, y₁) と B (x₂, y₂)。これらの点間の距離dは次のように計算できます:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

例: 距離の計算

点(3, 4)と(7, 1)の距離を見つけましょう:

A = (3, 4), B = (7, 1)

d = √((7 - 3)² + (1 - 4)²) = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

これら2つの点間の距離は5単位です。

中点の公式

デカルト平面上の2点間の中点は簡単に計算できます。2点を持っていると仮定しましょう: 点A(x₁, y₁)と点B(x₂, y₂), 中点Mは次のように与えられます:

M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

例: 中点の計算

点(1, 2)と(-3, 4)を考えてみましょう。それらの中点を見つけましょう:

A = (1, 2), B = (-3, 4)

M = ((1 + (-3)) / 2, (2 + 4) / 2) = (-2 / 2, 6 / 2) = (-1, 3)

中点は(-1, 3)にあります。

直線の方程式

座標幾何学の主な結果の1つは直線の方程式を求める能力です。最も一般的な形はスロープ傾きの形です:

y = mx + c

mは直線の傾きを表し、その深さを示します。
cはy軸との交点、すなわち直線がy軸と交わる点です。

第2の形は点傾きの形で、直線上の点とその傾きがわかっているときに特に便利です:

y - y₁ = m(x - x₁)

ここで(x₁, y₁)は直線上の既知の点です。

例: 直線の方程式を書く

仮定しましょう、直線が点(2, 3)を通過し、傾きが4であることが分かっているとします。点傾きの公式を使用します:

y - 3 = 4(x - 2)

この方程式を展開すると:

y = 4x - 8 + 3 = 4x - 5

直線の方程式はy = 4x - 5です。

直線の傾き

直線の傾きは水平との傾斜を測定します。それは直線上の2点間の垂直変化と水平変化の比率として計算されます:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

例: 傾きの計算

点(6, 2)と(8, 6)を考えてみましょう:

m = (6 - 2) / (8 - 6) = 4 / 2 = 2

これらの点を通過する直線の傾きは2です。