Grado 8
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionales  1.2. Números irracionales  1.3. Número real  1.4. Propiedades de los números reales  1.4.1. Activos intercambiables  1.4.2. Propiedad asociativa  1.4.3. Entendiendo la propiedad distributiva  1.5. Representación en la recta numérica  1.6. Operaciones con números reales  1.6.1. Adición y sustracción  1.6.2. Multiplicación y división  1.7. Comprender la racionalización en sistemas numéricos  1.8. Comprendiendo exponentes y potencias  1.9. Raíz cuadrada y raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresión algebraica  2.2. Identificación y simplificación  2.2.1. Multiplicación de binomios  2.2.2. Uso de identidades algebraicas en álgebra  2.3. Entendiendo la factorización en álgebra  2.3.1. Hechos generales  2.3.2. Factorización por agrupación  2.3.3. Comprendiendo la factorización de trinomios  2.3.4. Comprender los productos especiales en factorización  2.4. Ecuaciones lineales en una variable  2.4.1. Resolviendo ecuaciones lineales  2.4.2. Problemas de palabras en ecuaciones lineales
  3. Introducción a la geometría  3.1. Comprendiendo los cuadriláteros  3.1.1. Comprendiendo las propiedades de los cuadriláteros  3.1.2. Tipos de cuadriláteros  3.1.2.1. Cuadrilátero  3.1.2.2. Rectángulo  3.1.2.3. Clase social  3.1.2.4. Entendiendo el rombo en tipos de cuadriláteros  3.1.2.5. Comprendiendo el trapecio  3.2. Construcción  3.2.1. Construcción de un cuadrilátero  3.2.2. Construcción del bisector  3.2.3. Creando un ángulo  3.2.4. Construcción de triángulos  3.3. Simetría y transformación en geometría  3.3.1. Reflexiones en simetrías y transformaciones  3.3.2. Comprender las rotaciones en simetría y transformaciones en geometría  3.3.3. Traducción  3.3.4. Simetría en patrones
  4. Mensuración  4.1. Área y Perímetro  4.1.1. Comprender el perímetro de los polígonos  4.1.2. Área de triángulos  4.1.3. Área de un cuadrilátero  4.1.4. Entendiendo el área de los círculos  4.2. Introducción al área de superficie y volumen  4.2.1. Cubos  4.2.2. Comprender los cuboides: Área de superficie y volumen  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Conos: Área de superficie y volumen  4.2.5. Comprendiendo las esferas - área de superficie y volumen
  5. Manejo de datos  5.1. Organizando los datos  5.2. Tabla de distribución de frecuencias  5.3. Representación gráfica de datos  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Comprendiendo los histogramas en la gestión de datos  5.3.3. Entendiendo los gráficos de pastel: Una guía completa  5.3.4. Gráfico de líneas (añadido)  5.4. Entendiendo la probabilidad  5.4.1. Introducción a la probabilidad  5.4.2. Probabilidad experimental
  6. Geometría coordinada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Dibujo de puntos en geometría de coordenadas  6.3. Sistema de coordenadas  6.4. Distancia entre puntos  6.5. Aplicaciones de la geometría analítica
  7. Introducción a los gráficos  7.1. Gráficas lineales  7.2. Aplicaciones de los gráficos  7.3. Diagrama de distancia-tiempo  7.4. Introducción a los gráficos de velocidad-tiempo
  8. Comparación de cantidades  8.1. Comprender la razón y la proporción en la comparación de cantidades  8.2. Comprender porcentajes en comparación con cantidades  8.2.1. Comprender los porcentajes de aumento y disminución  8.2.2. Descuento porcentual  8.2.3. Comprender el beneficio y la pérdida en porcentaje  8.2.4. Entendiendo el interés simple  8.2.5. Interés compuesto
  9. Exponentes y potencias  9.1. Leyes de los exponentes  9.2. Comprender los exponentes negativos  9.3. Comprensión de los exponentes y exponentes en forma estándar  9.4. Aplicaciones de los exponentes
  10. Introducción a los cuadrados y raíces cuadradas  10.1. Propiedades de los números cuadrados  10.2. Encontrar la raíz cuadrada  10.2.1. Método de factorización en primos  10.2.2. Método de división para encontrar la raíz cuadrada  10.3. Estimación de la raíz cuadrada
  11. Introducción a los cubos y raíces cúbicas  11.1. Propiedades de los números cúbicos  11.2. Encontrar raíces cúbicas  11.2.1. Método de factorización en primos para encontrar raíces cúbicas

Grado 8 ↓


Geometría coordinada


Introducción

La geometría coordinada, también conocida a veces como geometría analítica, combina álgebra y geometría para describir la posición y las relaciones de las figuras en un plano. Esta rama de las matemáticas se basa en un sistema de coordenadas para identificar de manera única la ubicación de los puntos. Esto nos permite utilizar métodos algebraicos para resolver problemas geométricos.

Plano cartesiano

El sistema de coordenadas más comúnmente utilizado en la geometría coordinada es el plano cartesiano. Consiste en dos líneas numéricas que son perpendiculares entre sí y se intersectan en sus puntos cero. Estas líneas numéricas se llaman ejes. La línea horizontal es el eje x, y la línea vertical es el eje y.

El punto donde el eje x y el eje y se encuentran se llama el origen, representado por las coordenadas (0, 0). Cada punto en el plano está asociado con un par ordenado de números, a menudo llamado sus coordenadas.

Ejemplo: Comprendiendo el plano cartesiano

Considere la siguiente representación del plano cartesiano:

(0,0) (1,1)

En este diagrama, el círculo rojo con coordenadas (1, 1) está ubicado una unidad a la derecha y una unidad arriba del origen. Cada movimiento a la derecha incrementa la coordenada x y cada movimiento hacia arriba incrementa la coordenada y.

Graficando puntos

Para graficar un punto en el plano cartesiano necesita conocer sus coordenadas (x, y).

  • La coordenada x, o abscisa, representa la posición del punto a lo largo del eje x. Los valores positivos indican posiciones a la derecha del origen, mientras que los valores negativos indican posiciones a la izquierda.
  • La coordenada y representa la posición del punto a lo largo del eje y. Los valores positivos colocan el punto por encima del origen, mientras que los valores negativos lo colocan por debajo.

Ejemplo: Graficando puntos

Por ejemplo, vamos a graficar los puntos (2, 3), (-1, -2) y (0, -4):

(2, 3) (-1, -2) (0, -4)

En esta representación visual:

  • El punto (2, 3) está 2 unidades a la derecha del eje y y 3 unidades por encima del eje x.
  • El punto (-1, -2) está 1 unidad a la izquierda del eje y y 2 unidades por debajo del eje x.
  • El punto (0, -4) se encuentra exactamente en el eje y y 4 unidades por debajo del eje x.

Cuadrante

El plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes por el eje x y el eje y:

  1. Cuadrante I: Ambas coordenadas x e y son positivas.
  2. Cuadrante II: x es negativo e y es positivo.
  3. Cuadrante III: Ambas coordenadas x e y son negativas.
  4. Cuarto cuadrante: x es positivo e y es negativo.
Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III cuarto cuadrante

Fórmula de la distancia

La distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano puede calcularse utilizando la fórmula de la distancia. Supongamos que tenemos dos puntos: A (x1, y1) y B (x2, y2). La distancia d entre estos puntos se puede calcular de la siguiente manera:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Ejemplo: Encontrando la distancia

Encontremos la distancia entre los puntos (3, 4) y (7, 1):

Sean A = (3, 4) y B = (7, 1)
d = √((7 - 3)² + (1 - 4)²) = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

La distancia entre estos dos puntos es de 5 unidades.

Fórmula del punto medio

El punto medio entre dos puntos en el plano cartesiano se puede calcular fácilmente. Supongamos que tenemos dos puntos: el punto A (x1, y1) y el punto B (x2, y2), el punto medio M está dado por:

M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Ejemplo: Calculando el punto medio

Considere los puntos (1, 2) y (-3, 4). Encontramos su punto medio:

Sean A = (1, 2) y B = (-3, 4)
M = ((1 + (-3)) / 2, (2 + 4) / 2) = (-2 / 2, 6 / 2) = (-1, 3)

El punto medio está en (-1, 3).

Ecuación de la línea

Uno de los principales resultados de la geometría coordinada es la capacidad de encontrar la ecuación de una línea. La forma más común de la ecuación de una línea es la forma pendiente-intersección:

y = mx + c
  • m representa la pendiente de la línea, lo cual indica su inclinación.
  • c es la intersección con el eje y, donde la línea corta el eje y.

La segunda forma es la forma punto-pendiente, que es particularmente útil cuando conocemos los puntos en la línea y su pendiente:

y - y1 = m(x - x1)

donde (x1, y1) es un punto conocido en la línea.

Ejemplo: Escribiendo la ecuación de una línea

Supongamos que sabemos que una línea pasa por el punto (2, 3) y tiene una pendiente de 4. Usando la fórmula punto-pendiente:

y - 3 = 4(x - 2)

Expandiendo esta ecuación obtenemos:

y = 4x - 8 + 3 = 4x - 5

La ecuación de la línea es y = 4x - 5.

Pendiente de la línea

La pendiente de una línea mide su inclinación hacia la horizontal. Se calcula como la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal entre dos puntos en la línea:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Ejemplo: Calculando la pendiente

Consideremos los puntos (6, 2) y (8, 6):

m = (6 - 2) / (8 - 6) = 4 / 2 = 2

La pendiente de la línea que pasa por estos puntos es 2.

Aplicaciones de la geometría coordinada

La geometría coordinada tiene muchas aplicaciones que van desde la representación gráfica de formas hasta la resolución de problemas del mundo real que involucran distancias, trayectorias y más. Muchos problemas de ingeniería, arquitectura y física dependen en gran medida de los principios de la geometría coordinada.

Conclusión

La geometría coordinada es el puente entre el álgebra y la geometría, facilitando la comprensión de las propiedades del espacio y las formas a través de enfoques numéricos y analíticos. Equipar a los estudiantes con las herramientas necesarias para explorar conceptos matemáticos y resolver desafíos prácticos, sentando las bases para matemáticas más avanzadas y campos afines.

A medida que avance en sus estudios matemáticos, dominar la geometría coordinada fortalecerá sus habilidades para resolver problemas, facilitando la comprensión de temas más complejos en su futuro aprendizaje.


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