識別と簡素化
代数恒等式の紹介
代数恒等式は、関与する変数のすべての値について真である方程式です。それらは、複雑な代数式を簡素化するために使用できる数学的真理のようなものです。これらの恒等式を理解することで、代数の問題をより簡単に解くことができます。これらの恒等式は、多くの代数操作と簡素化の基礎を形成します。代数恒等式の世界に深く入り込み、それがどのように機能するかを学びましょう。
一般的な代数恒等式
よく遭遇する標準的な代数恒等式がいくつかあります。ここに最も一般的な恒等式のいくつかを示します。
1. クラスの識別
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
二項式を二乗すると、最初の項の二乗、最初と第二の項の積の2倍、第二の項の二乗の3つの項に展開されます。
2. 減少した正方形の識別
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
この恒等式は最初のものに似ていますが、減算記号があります。違いは中間項に現れ、それが負になります。
3. 平方の差
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)
この恒等式は、2つの平方の差を和と差の積として表します。式の因数分解に非常に便利です。
4. 立方体の識別
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
この恒等式は、4つの項で量の立方を展開する方法を示しています。
5. 減少した立方体の識別
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
前述の恒等式に似ていますが、減算を含み、それが結果の項に影響を与えます。
6. 立方の和
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
この恒等式は、2つの立方の和を因数分解するのに役立ちます。
7. 立方の差
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)
これは立方の和に似ていますが、立方の差を表しています。
恒等式を使用した簡素化
いくつかの一般的な恒等式を知ったので、それを使用して代数式を簡素化する方法を見てみましょう。簡素化には、式を最も単純な形にすることが含まれます。これを行うには、適切な恒等式を適用します。
例: (x + 3) 2を簡素化
(x + 3) 2 二乗の恒等式を適用： (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = x 2 + 2 * x * 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9
(x + 3) 2 二乗の恒等式を適用： (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = x 2 + 2 * x * 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9
例: (4y - 1)(4y + 1)を簡素化
(4y - 1)(4y + 1) 平方の差の恒等式を適用： a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) a = 4y と b = 1 を仮定 = (4y) 2 - 1 2 = 16y 2 - 1
(4y - 1)(4y + 1) 平方の差の恒等式を適用： a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) a = 4y と b = 1 を仮定 = (4y) 2 - 1 2 = 16y 2 - 1
例: x 3 + 27を簡素化
x 3 + 27は立方の和 立方の和の恒等式を適用： a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) a = x と b = 3 を仮定 = (x + 3)(x 2 - 3x + 9)
x 3 + 27は立方の和 立方の和の恒等式を適用： a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) a = x と b = 3 を仮定 = (x + 3)(x 2 - 3x + 9)
代数恒等式の視覚化
これらの恒等式がどのように機能するかを理解するために視覚的アプローチをとりましょう。これらの代数恒等式の幾何学的な表現を見ることで、それらをより直感的に理解できます。
視覚的な例: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
この図は、(a + b) 2 の展開を4つの部分に分割された大きな正方形として示しています：a 2、ab、ab、およびb 2。2つのab長方形は中間項を表し、すなわち2abです。
視覚的な例: a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)
平方の差の恒等式のこの視覚化では、緑の正方形a 2が
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