मिश्र संख्याएँ और अपूर्ण भिन्न

परिचय

भिन्न गणित का एक अनिवार्य हिस्सा हैं, और वे अक्सर विभिन्न रूपों में दिखाई देते हैं। दो सामान्य प्रकार के भिन्न जिनसे आप रूबरू होंगे, वे हैं मिश्र संख्याएँ और अपूर्ण भिन्न। इन अवधारणाओं में गहराई से जाने से पहले, आइए संक्षेप में समझें कि भिन्न होते क्या हैं:

एक भिन्न पूरे का एक हिस्सा प्रदर्शित करने का तरीका है। यह दो संख्याओं से बना होता है - अंश (ऊपरी संख्या) और हर (निचली संख्या)। उदाहरण के लिए, भिन्न 3/4 में, तीन अंश है और चार हर है। भिन्न 3/4 हमें बताता है कि हम 4 में से 3 हिस्सों से संबंधित हैं।

दो प्रकार के भिन्न जिन पर हम यहां ध्यान केंद्रित कर रहे हैं, मिश्र संख्याएँ और अपूर्ण भिन्न, पूरे संख्याओं से अधिक मात्रा को व्यक्त करने के तरीके हैं।

मिश्र संख्या

एक मिश्र संख्या ऐसा संख्या है जो एक पूर्णांक और एक भिन्न का संयोजन है। यह कुछ इस तरह दिखता है:

    2 3/4

यहाँ, 2 3/4 एक मिश्र संख्या है। संख्या 2 पूर्णांक भाग है और 3/4 भिन्न भाग है। इसका मतलब है हमारे पास दो पूर्ण हिस्से और एक अन्य हिस्सा के तीन-चौथाई हैं।

मिश्र संख्याओं का चित्रण

मिश्र संख्याओं को देखना उन्हें बेहतर समझने में मदद कर सकता है। आइए 2 3/4 के उदाहरण को लें:

    ,
    | 1 | 2 | | |  
           ,
           | 3/4 |

यह चित्रण दिखाता है कि हमारे पास दो पूरे हिस्से (दो पूर्ण बार) और तीसरा बार जो तीन-चौथाई भरा हुआ है।

मिश्र संख्याओं को अपूर्ण भिन्न में परिवर्तित करना

एक मिश्र संख्या को अपूर्ण भिन्न में परिवर्तित करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. पूर्णांक को भिन्न के हर से गुणा करें।
2. भिन्न के अंश को परिणाम में जोड़ें।
3. इस योग को मूल हर के ऊपर रखें।

आइए 2 3/4 को अपूर्ण भिन्न में बदलें:

    चरण 1: 2 * 4 = 8
    चरण 2: 8 + 3 = 11
    चरण 3: 11 को हर 4 के ऊपर रखें
    परिणाम: 11/4

इस प्रकार, एक अपूर्ण भिन्न के रूप में 2 3/4 = 11/4।

अपूर्ण भिन्न

एक अपूर्ण भिन्न ऐसा भिन्न है जिसमें अंश हर से अधिक या उसके बराबर होता है। इसका मतलब है कि 'ऊपर' की संख्या 'नीचे' की संख्या से अधिक है, जो शायद पहले थोड़ा अजीब लग सकता है क्योंकि यह हमें बताता है कि हमारे पास एक से अधिक पूरे हिस्से हैं। एक अपूर्ण भिन्न का उदाहरण है:

    7/4

7/4 में, ऊपर की संख्या (7) नीचे की संख्या (4) से बड़ी है, दिखाती है कि हमारे पास ऐसे 7 हिस्से हैं जो 4 हिस्सों में विभाजित किए जा सकते हैं।

अपूर्ण भिन्न का चित्रण

मिश्र संख्याओं के जैसे ही, अपूर्ण भिन्नों को देखना मदद करता है। यहां एक दृश्य प्रस्तुति है:

    ,
    | 4/4 | 3/4 |

भिन्न 7/4 का अर्थ है एक पूरा (या 4/4) और एक अन्य भिन्न जो 3/4 है। जब आप इन्हें जोड़ते हैं, तो यह 1 3/4 के बराबर होता है।

अपूर्ण भिन्न को मिश्र संख्या में परिवर्तित करना

एक अपूर्ण भिन्न को मिश्र संख्या में परिवर्तित करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. अंश को हर से विभाजित करें।
2. विभाजक पूर्णांक भाग है।
3. शेष भाग अंश के अंश का भाग है।
4. हर वही रहेगा।

11/4 को मिश्र संख्या में बदलें:

    चरण 1: 11 ÷ 4 = 2 शेष 3
    चरण 2: विभाजक 2 है।
    चरण 3: शेष 3 है, जो अंश बनेगा।
    चरण 4: हर 4 ही रहता है।
    परिणाम: 2 3/4

इस प्रकार 11/4 एक मिश्र संख्या के रूप में 2 3/4 है।

उदाहरण के साथ समझें

आइए कुछ और उदाहरण देखें ताकि हमारी समझ को और मजबूती मिले।

अर्थमेटिक में मिश्र संख्याओं और अपूर्ण भिन्नों का उपयोग

मिश्र संख्याएँ और अपूर्ण भिन्न रोज़मर्रा की जिंदगी में और विभिन्न गणितीय क्रियाओं में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। देखें कि उनका जोड़ना, घटाना, गुणा करना और भाग देना कैसे होता है:

मिश्र संख्याओं का जोड़

मिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, पहले उन्हें अपूर्ण भिन्नों में परिवर्तित करना, जोड़ना, और यदि आवश्यक हो तो वापस परिवर्तित करना सबसे आसान होता है। यहां एक उदाहरण है:

2 1/3 और 3 1/4 जोड़ें।

    चरण 1: अपूर्ण भिन्न में परिवर्तित करें।
             - 2 1/3 = 7/3
             - 3 1/4 = 13/4
    चरण 2: एक सामान्य हर खोजें।
             - 7/3 = 28/12
             - 13/4 = 39/12
    चरण 3: अपूर्ण भिन्न जोड़ें।
             - 28/12 + 39/12 = 67/12
    चरण 4: मिश्र संख्याओं में वापस रूपांतरित करें।
             – 67/12 बनता है 5 7/12

मिश्र संख्याओं का घटाना

घटाव भी इसी तरह किया जाता है। परिवर्तित करें, एक सामान्य हर खोजें, घटाएं, और वापस परिवर्तित करें।

5 2/3 को 7 3/4 से घटाएं।

    चरण 1: अपूर्ण भिन्न में परिवर्तित करें।
             - 5 2/3 = 17/3
             - 7 3/4 = 31/4
    चरण 2: एक सामान्य हर खोजें।
             - 17/3 = 68/12
             - 31/4 = 93/12
    चरण 3: अपूर्ण भिन्न घटाएं।
             - 93/12 - 68/12 = 25/12
    चरण 4: मिश्र संख्याओं में वापस रूपांतरित करें।
             – 25/12 बनता है 2 1/12

मिश्र संख्याओं का गुणन

मिश्र संख्याओं का गुणा करने के लिए, उन्हें अपूर्ण भिन्नों में परिवर्तित करें, गुणा करें और यदि आवश्यक हो तो वापस परिवर्तित करें।

1 2/3 से 2 1/4 का गुणा करें।

    चरण 1: अपूर्ण भिन्न में परिवर्तित करें।
             - 1 2/3 = 5/3
             - 2 1/4 = 9/4
    चरण 2: अपूर्ण भिन्न गुणा करें।
             - (5/3) * (9/4) = 45/12
    चरण 3: यदि संभव हो तो भिन्न को सरल बनाएं।
             - 45/12 = 15/4
    चरण 4: मिश्र संख्याओं में वापस रूपांतरित करें।
             - 15/4 बनता है 3 3/4

मिश्र संख्याओं का भाग

भाग लगभग गुणन के समान ही होता है। हालांकि, इस बार आपको भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करना होता है।

3 1/2 को 1 1/4 से विभाजित करें।

    चरण 1: अपूर्ण भिन्न में परिवर्तित करें।
             - 3 1/2 = 7/2
             - 1 1/4 = 5/4
    चरण 2: प्रतिलोम से गुणा करें।
             - (7/2) * (4/5) = 28/10
    चरण 3: भिन्न को सरल बनाएं।
             - 28/10 = 14/5
    चरण 4: मिश्र संख्याओं में वापस रूपांतरित करें।
             – 14/5 बनता है 2 4/5

मिश्र संख्याओं और अपूर्ण भिन्नों के व्यावहारिक अनुप्रयोग

रोज़मर्रा की जिंदगी में, मिश्र संख्याएँ और अपूर्ण भिन्न बहुत उपयोगी हैं। यहाँ कुछ सामान्य स्थितियाँ दी गई हैं:

• पाक कला और व्यंजन: अक्सर, आपको 1 1/2 कप या 3/4 चम्मच मात्रा को आधा करना पड़ता है ताकि किसी सामग्री की मात्रा को मापा जा सके।
• निर्माण और बढ़ईगीरी: माप अक्सर मिश्र संख्याएँ हो सकते हैं, जैसे 2 1/2 इंच या 5 3/4 फीट।
• समय: जब घंटे और मिनटों को विभाजित करते हैं, तो आप कह सकते हैं कि आप कुछ 3 1/4 घंटों में करेंगे।

अभ्यास समस्याएँ

आइए अभ्यास करें कि मिश्र संख्याओं और अपूर्ण भिन्नों के साथ कैसे रूपांतरण और गणना करते हैं।

निष्कर्ष

मिश्र संख्याओं और अपूर्ण भिन्नों को समझना न केवल शैक्षिक सेटिंग्स में महत्वपूर्ण है बल्कि रोज़मर्रा की जिंदगी में भी है। वे हमें यह समझने में मदद करते हैं कि कैसे हम पूरे संख्याओं से बड़े नंबरों के साथ काम करते हैं, दैनिक कार्यों को सटीकता से और आसानी से करते हैं, और अंकगणितीय ऑपरेशनों में अधिक कुशल बनते हैं। नियमित रूप से अभ्यास करें, और जल्द ही ये अवधारणाएँ आपकी दूसरी प्रकृति बन जाएंगी।

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