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अधिकतम और न्यूनतम समस्याएँ
अधिकतम और न्यूनतम समस्याएँ कैलकुलस का एक आवश्यक हिस्सा हैं और विभिन्न क्षेत्रों में इनका व्यापक अनुप्रयोग होता है। ये समस्याएँ हमें किसी ग्राफ पर उच्चतम या निम्नतम बिंदुओं को निर्धारित करने में मदद करती हैं, जो विभिन्न परिदृश्यों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, जैसे लाभ का अनुकूलन, लागत को न्यूनतम करना, या किसी वस्तु के लिए सबसे कुशल आकार खोजना।
कैल्कुलस में, जब हम अधिकतम और न्यूनतम की बात करते हैं, तो हम अक्सर महत्वपूर्ण बिंदुओं का उल्लेख कर रहे होते हैं। ये बिंदु तब होते हैं जब किसी फलन का अवकलज शून्य या अप्रचलित होता है। एक बार पहचान हो जाने पर, इन बिंदुओं का विश्लेषण यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि वे अधिकतम (उच्चतम बिंदु), न्यूनतम (निम्नतम बिंदु) हैं या नहीं।
महत्वपूर्ण बिंदुओं को समझना
पहले ये समझते हैं कि महत्वपूर्ण बिंदु क्या होते हैं। किसी फलन f(x) के संदर्भ में, एक महत्वपूर्ण बिंदु तब होता है जब अवकलज f'(x) = 0 या अप्रचलित होता है। इसका अर्थ है कि फलन के ग्राफ पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान उस बिंदु पर शून्य (क्षैतिज रेखा) होती है या अवकलज अस्तित्व में नहीं होता।
महत्वपूर्ण बिंदु खोजने के लिए इन चरणों का पालन करें: 1. फलनf(x)का अवकलजf'(x)निकालें। 2. संभावित महत्वपूर्ण बिंदु खोजने के लिए समीकरणf'(x) = 0हल करें। 3. किसी भी बिंदु की पहचान करें जहांf'(x)अप्रचलित होता है।
महत्वपूर्ण बिंदुओं के प्रकार: स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम
महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान करने के बाद, अगला कदम यह निर्धारित करना है कि ये बिंदु स्थानीय अधिकतम हैं या स्थानीय न्यूनतम, या शायद दोनों में से कोई नहीं। आइए समझें कि इनका क्या अर्थ है:
स्थानीय अधिकतम
किसी फलन f(x) का एक बिंदु x = c पर स्थानीय अधिकतम तब होता है जब f(c) ≥ f(x) सभी x के लिए एक अंतराल में होता है जो c को घेरे हुए होता है। इसका अर्थ है कि फलन का सर्वोच्च मूल्य c के निकटतम पड़ोस में होता है।
स्थानीय न्यूनतम
किसी फलन f(x) का एक बिंदु x = c पर स्थानीय न्यूनतम तब होता है जब f(c) ≤ f(x) सभी x के लिए एक अंतराल में होता है जो c को घेरे हुए होता है। इसका संकेत है कि फलन का मूल्य c के आसपास के बिंदुओं के बीच सबसे छोटा होता है।
अधिकतम या न्यूनतम नहीं
कभी-कभी, एक महत्वपूर्ण बिंदु स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं हो सकता। ये ऐसे परिदृश्यों में होते हैं जैसे मोड़ बिंदु, जहां ढलान बदल जाती है लेकिन चोटी या घाटी परिणाम नहीं होती।
प्रथम अवकलज परीक्षण
महत्वपूर्ण बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने का एक तरीका है प्रथम अवकलन परीक्षण। यह परीक्षण सम्मिलित करता है:
1.f'(x) = 0या जबf'(x)अप्रचलित होता है तब महत्वपूर्ण बिंदुओं को निर्धारित करें। 2. प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के आसपासf'(x)(सकारात्मक या नकारात्मक) के संकेत को विश्लेषण करने के लिए एक संकेत चार्ट खींचें। 3. प्रत्येक अंतराल के लिए जहांf'(x)का संकेत बदलता है: - यदिf'(x)का संकेतcपर सकारात्मक से नकारात्मक में बदलता है, तोcएक स्थानीय अधिकतम है। - यदिf'(x)का संकेतcपर नकारात्मक से सकारात्मक में बदलता है, तोcएक स्थानीय न्यूनतम है। – यदि कोई संकेत परिवर्तन नहीं होता है, तोcदोनों में से कोई नहीं है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण
महत्वपूर्ण बिंदुओं की प्रकृति का निर्धारण करने का एक अन्य तरीका है द्वितीय अवकलज परीक्षण। यह सम्मिलित करता है:
1.cके महत्वपूर्ण बिंदु का पता लगाएँ जहांf'(x) = 0। 2. दूसरा अवकलजf''(x)निकालें। 3.f''(c)का मूल्यांकन करें: - यदिf''(c) > 0, तोf(c)एक स्थानीय न्यूनतम है। - यदिf''(c) < 0, तोf(c)एक स्थानीय अधिकतम है। - यदिf''(c) = 0, तो परीक्षण अनिर्णायक है।
वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम
वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम एक फलन के उच्चतम या निम्नतम बिंदुओं को इसके संपूर्ण डोमेन पर संदर्भित करते हैं, जबकि स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम को विशिष्ट अंतरालों तक ही सीमित किया जाता है।
वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम खोजने के लिए:
1. डोमेन के आंतरिक भाग पर पाए गएf(x)के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर विचार करें। 2. सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं और डोमेन के उपसंहारों परf(x)का मूल्यांकन करें। 3. उच्चतम (वैश्विक अधिकतम) और निम्नतम (वैश्विक न्यूनतम) मूल्य निर्धारित करने के लिए इन मूल्यों की तुलना करें।
उदाहरण और अनुप्रयोग
उदाहरण 1: एक द्विघात फलन का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें
फलन f(x) = -x^2 + 4x + 1 विचार करें। हम पहले वर्णित चरणों का उपयोग करके महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजेंगे:
- अवकलज की गणना करें:
f'(x) = -2x + 4
f'(x) = 0को हल करें:-2x + 4 = 0 => x = 2
- द्वितीय अवकलज परीक्षण:
- दूसरा अवकलज निकालें:
f''(x) = -2 - चूंकि
f''(2) = -2 < 0,f(2)एक स्थानीय अधिकतम है।
- दूसरा अवकलज निकालें:
महत्वपूर्ण बिंदु पर फलन का मूल्यांकन करें:
f(2) = -2^2 + 4*2 +1 = 5
इस प्रकार, f(x) का स्थानीय अधिकतम x = 2 पर 5 है।
उदाहरण 2: व्यापार परिदृश्य में अनुकूलन समस्या
एक कंपनी आधार और पक्षों के लिए 1200 cm2 सामग्री का उपयोग करते हुए खुले-टॉप आयताकार बक्से का उत्पादन करना चाहती है। उन आयामों का निर्धारण करें जो बॉक्स के आयतन को अधिकतम करेंगे।
आधार की लंबाई x और आधार की चौड़ाई y होने दें। तब ऊंचाई h सतह क्षेत्र बाधा का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
सतह क्षेत्र: xy + 2xh + 2yh = 1200 आयतन: V = xyh
सतह क्षेत्र समीकरण सेhके लिए हल करें:h = (1200 - xy) / (2x + 2y)आयतन समीकरण में प्रतिस्थापित करें:V = xy((1200 - xy) / (2x + 2y))इस बिंदु पर, समस्या संख्यात्मक तरीकों की आवश्यकता हो सकती है, इसे संभालने के लिए अवकलज का उपयोग किया जा सकता है।
समाधान में महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए अवकलज लागू करना और अनुकूलन को सुनिश्चित करने के लिए आयामों का तार्किक विश्लेषण शामिल होगा।
अधिकतम और न्यूनतम के साथ एक फलन का दृश्य उदाहरण
एक साधारण घन फलन f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27 विचार करें।
अवकलज: f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
महत्वपूर्ण बिंदु खोजने के लिए:
f'(x) = 0 को हल करें: 3x^2 - 6x - 9 = 0
यह समस्या को आगे सरल बनाता है, इस प्रकार:
2x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0
इस प्रकार, महत्वपूर्ण बिंदु हैं x = 3, -1
पहले अवकलज परीक्षण के माध्यम से महत्वपूर्ण बिंदुओं के आसपास के संकेतों का अध्ययन करने पर पुष्टि होती है:
बिंदु x = -1 एक स्थानीय अधिकतम है और बिंदु x = 3 एक स्थानीय न्यूनतम है।
निष्कर्ष
कैल्कुलस के माध्यम से अधिकतम और न्यूनतम का अध्ययन हमें उच्च और निम्न बिंदुओं को पहचानकर विभिन्न परिदृश्यों का अनुकूलन करने की अनुमति देता है। दैनिक अनुप्रयोगों में, यह हमें जटिल समस्या स्थितियों को प्रभावी ढंग से हल करने में मदद करता है और विश्लेषण के माध्यम से रचनात्मक मूल्य जोड़ता है।
चाहे बक्सों को अधिकतम मात्रा के लिए डिज़ाइन करना हो, या लाभ मार्जिन को समझना हो, इन सिद्धांतों का व्यावहारिक कार्यान्वयन के लिए अमूल्य महत्व है।
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