Класс 12
  1. Введение в алгебру  1.1. Матрицы  1.1.1. Определение и типы матриц  1.1.2. Операции с матрицами  1.1.3. Транспонирование матрицы  1.1.4. Определители и их свойства  1.1.5. Обратная матрица  1.1.6. Решение линейных уравнений с помощью матриц  1.1.7. Применение матриц  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Определение и представление комплексных чисел  1.2.2. Понимание алгебры комплексных чисел  1.2.3. Модуль и аргумент комплексных чисел  1.2.4. Введение в комплексные числа  1.2.5. Теорема Муавра  1.2.6. Корни комплексных чисел  1.2.7. Приложения в геометрии  1.3. Векторы и 3D геометрия  1.3.1. Векторная алгебра  1.3.2. Скалярное и векторное произведения  1.3.3. Уравнение прямой в пространстве  1.3.4. Уравнение плоскости в векторах и 3D геометрии  1.3.5. Расстояние между линиями и плоскостями  1.3.6. Угол между прямыми и плоскостями
  2. Вычисления  2.1. Пределы и непрерывность  2.1.1. Понятие границ  2.1.2. Продолжение работ  2.1.3. Виды разрывов  2.1.4. Понимание ограничений левой и правой руки  2.2. Дискриминация  2.2.1. Производная как скорость изменения  2.2.2. Техники дифференцирования  2.2.3. Производные высших порядков  2.2.4. Применение производных  2.2.5. Касательная и нормаль  2.2.6. Возрастательные и убывающие функции  2.3. Интеграция  2.3.1. Неопределенный интеграл  2.3.2. Опрелеленный интеграл  2.3.3. Техники интеграции  2.3.4. Понимание площади под кривой в интегрировании  2.3.5. Применение интегралов в геометрии  2.4. Дифференциальные уравнения  2.4.1. Формирование дифференциальных уравнений  2.4.2. Порядок и степень дифференциальных уравнений  2.4.3. Решения дифференциальных уравнений  2.4.4. Применение дифференциальных уравнений  2.4.5. Введение в линейные дифференциальные уравнения первого порядка
  3. Вероятность и статистика  3.1. Понимание вероятности  3.1.1. Понимание условной вероятности  3.1.2. Теорема Байеса  3.1.3. Понимание случайных величин в теории вероятностей и статистике  3.1.4. Распределения вероятностей  3.1.5. Биномиальное и нормальное распределение  3.2. Фигуры  3.2.1. Среднее и стандартное отклонение  3.2.2. Дисперсия и ковариация  3.2.3. Корреляция и регрессия  3.2.4. Понимание проверки гипотез в статистике
  4. Линейное программирование  4.1. Графический метод в линейном программировании  4.1.1. Понимание допустимых и недопустимых областей в линейном программировании  4.1.2. Оптимальное решение в графическом методе линейного программирования  4.1.3. Анализ чувствительности в графическом методе  4.2. Метод симплекс  4.2.1. Формулировка задач в методе симплекс  4.2.2. Решение задач линейного программирования с использованием метода симплекс  4.2.3. Метод двойственного симплекса
  5. Отношения и функции  5.1. Типы отношений  5.1.1. Рефлексивное отношение  5.1.2. Симметричные отношения  5.1.3. Понимание транзитивных отношений  5.1.4. Отношение эквивалентности  5.2. Типы задач  5.2.1. Отображение на  5.2.2. Функция взаимно однозначного соответствия  5.2.3. Обратная функция  5.2.4. Совместная работа  5.3. Обратные тригонометрические функции  5.3.1. Основные значения в обратных тригонометрических функциях  5.3.2. Свойства и графики обратных тригонометрических функций  5.3.3. Применения в анализе
  6. Продвинутая тригонометрия  6.1. Введение в тригонометрические уравнения  6.1.1. Общие решения уравнений в тригонометрических уравнениях  6.1.2. Формула преобразования  6.2. Гиперболические функции  6.2.1. Определения и свойства гиперболических функций  6.2.2. Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями
  7. Арифметическая логика  7.1. Логическое мышление  7.1.1. Утверждения и логические связки  7.1.2. Тавтология и противоречие  7.2. Доказательство  7.2.1. Прямое доказательство  7.2.2. Непрямые доказательства  7.2.3. Доказательство от противного  7.2.4. Доказательство методом математической индукции
  8. Применение математики  8.1. Применения исчисления  8.1.1. Проблемы максимума и минимума  8.1.2. Приложения экономики и биологии  8.1.3. Скорость изменения в физике  8.2. Применение вероятности  8.2.1. Анализ риска  8.2.2. Принятие решений в приложениях вероятности  8.2.3. Теория игр

Класс 12 → Арифметическая логика → Доказательство ↓


Доказательство от противного


Доказательство от противного — мощный инструмент в математике. Это метод, который используют математики для того, чтобы показать истинность утверждения путем предположения противоположного этого утверждения и демонстрации, что это предположение приводит к невозможному, такому как противоречие.

Предположим, что у нас есть утверждение P, которое мы хотим доказать как истинное. В доказательстве от противного мы начинаем с предположения, что P не является истинным. Исходя из этого, мы находим логическое заключение, которое противоречит тому, что мы знаем как истинное. Когда мы приходим к такому противоречию, мы можем заключить, что P на самом деле истинно, так как предположив, что оно не истинно, мы приходим к невозможному.

Почему мы используем доказательство от противного?

Доказательство от противного полезно, когда утверждение трудно доказать напрямую или когда прямое доказательство не ясно показывает истинность утверждения. Иногда косвенный метод предположения противоположного предоставляет путь к обнаружению истин, которые не сразу видны при прямых методах.

Основная структура доказательства от противного

  1. Предположите противоположное тому, что вы хотите доказать.
  2. Используйте логические выводы, чтобы продемонстрировать противоречие.
  3. Заключите, что изначальное утверждение должно быть истинным, потому что противоположное предположение ведет к противоречию.

Пример: квадратный корень из 2

Рассмотрим это утверждение: «Квадратный корень из 2 — иррациональное число». Как мы можем доказать это утверждение, используя доказательство от противного?

Шаг 1: Предположите противоположное: Предположим, что √2 — рациональное число. Это означает, что существуют два целых числа a и b (с b ≠ 0), такие что:

√2 = a/b

Предположим, что a/b находится в своей наименьшей форме, то есть наибольший общий делитель (НОД) a и b равен 1.

Шаг 2: Возведите обе стороны в квадрат, чтобы найти квадратный корень.

(√2)² = (a/b)² => 2 = a²/b² => 2b² = a²

Итак, a² = 2b².

Шаг 3: Поскольку a² = 2b², a² — четное число (потому что равно удвоенному другому целому числу). Это означает, что a должно быть также четным, так как квадрат нечетного числа нечетен. Пусть a = 2k для некоторого целого k.

a = 2k

Подставляя обратно, мы получаем:

a² = (2k)² => a² = 4k² => 2b² = 4k² => b² = 2k²

Следовательно, b² также четно, и это означает, что b также будет четным.

Шаг 4: Теперь мы показали, что a и b оба четные, что означает, что у них общий множитель 2. Но это противоречит нашему изначальному предположению о том, что a/b находится в наименьшей форме. Мы предположили, что у a и b нет общего множителя, кроме 1.

Заключение: Наше предположение, что √2 — рационально, приводит к противоречию. Следовательно, изначальное утверждение должно быть истинным: квадратный корень из 2 — иррационален.

Визуальный пример

Предположим, что √2 рационально (a/b). a² = 2b² подразумевает, что a четное. a = 2k, подставляя обратно, получаем b² = 2k². b также четное, что противоречит наименьшей форме.

Другой пример: бесконечное количество простых чисел

Чтобы проиллюстрировать еще одно доказательство от противного, мы докажем, что существует бесконечно много простых чисел. Утверждение: «Нет наибольшего простого числа».

Шаг 1: Предположите противоположное: Предположим, что существует наибольшее простое число. Предположим, что список простых чисел конечен и задан p1, p2, ..., pn

Шаг 2: Рассмотрим новое число, полученное путем умножения всех простых чисел в списке и добавления 1:

N = p1 × p2 × ... × pn + 1

Шаг 3: Число N не делится ни на одно из простых чисел в списке, потому что деление его на любое из pi оставляет остаток 1. Так что N либо само простое, либо его простые множители не находятся в списке.

Заключение: либо N — новое простое число (не в списке), либо есть другие простые числа, которые не находятся в списке. Оба случая противоречат предположению о том, что p1, p2, ..., pn содержит все простые числа.

Общие советы по доказательству от противного

  • Определите, что вы хотите доказать. Четко поймите, что такое утверждение или предложение.
  • Предположите противоположное: Сначала предположите, что противоположное вашему утверждению является истинным.
  • Логическое рассуждение: Используйте осторожные логические шаги для достижения противоречия. Каждый шаг должен быть разумным.
  • Проверяйте предположения: Проверьте, ведут ли сделанные предположения правильно к противоречию.
  • Сделайте четкий вывод: Когда вы приходите к противоречию, сделайте вывод, утверждающий, что исходное предложение истинно.

Обычные применения доказательства от противного

  • Доказательство иррациональных чисел (например, √3, √5).
  • Демонстрация свойств целых чисел, таких как правила делимости.
  • Показ существования (или несуществования) решений в алгебраических уравнениях.
  • Установление границ или ограничений в математическом анализе и исчислении.

Заключение

Доказательство от противного — это элегантный и эффективный метод, который помогает исследовать основы математической логики. Путем предположения отрицания утверждения и прихода к невозможности мы используем логическую структуру математики для подтверждения истины. Это приглашает учащихся думать критически и подчеркивает логическую согласованность, присущую математической теории.

Практика этой техники дает студентам возможность оценить глубину и красоту абстрактного мышления, готовя их к более глубокому изучению сложных тем в математике и за ее пределами.


Класс 12 → 7.2.3


U
username
0%
завершено в Класс 12

← предыдущая (7.2.2)
Непрямые доказательства
следующая (7.2.4) →
Доказательство методом математической индукции

комментарии 



Доказательство от противного

https://www.buddymath.com/g12/7.2.3?bmal=ru