12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

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Prova por contradição


A prova por contradição é uma ferramenta poderosa na matemática. É um método usado por matemáticos para mostrar que uma afirmação é verdadeira assumindo o oposto dessa afirmação e mostrando que essa suposição leva a algo impossível, como uma contradição.

Suponha que temos uma afirmação P que queremos provar que é verdadeira. Numa prova por contradição, começamos assumindo que P não é verdadeira. A partir daí, encontramos uma conclusão lógica que contradiz o que sabemos ser verdade. Uma vez que chegamos a tal contradição, podemos concluir que P deve de fato ser verdadeira, já que assumir que não é verdadeira nos leva a algo impossível.

Por que usamos prova por contradição?

Prova por contradição é útil quando uma afirmação é difícil de provar diretamente ou quando uma prova direta não mostra claramente a verdade de uma afirmação. Às vezes, o método indireto de assumir o oposto fornece um caminho para descobrir verdades que não são imediatamente visíveis por métodos diretos.

Estrutura básica da prova por contradição

  1. Assuma o oposto do que você quer provar.
  2. Use conclusões lógicas para demonstrar uma contradição.
  3. Conclua que a afirmação original deve ser verdadeira porque a suposição oposta leva a uma contradição.

Exemplo: raiz quadrada de 2

Considere esta afirmação: “A raiz quadrada de 2 é um número irracional.” Como podemos provar esta afirmação usando prova por contradição?

Passo 1: Assuma o oposto: Assumir que √2 é um número racional. Isso significa que dois inteiros a e b (com b ≠ 0) são os seguintes:

√2 = a/b

Vamos assumir que a/b está em sua forma mais simples, i.e. o máximo divisor comum (MDC) de a e b é 1.

Passo 2: Elevar ambos os lados ao quadrado para encontrar a raiz quadrada.

(√2)² = (a/b)² => 2 = a²/b² => 2b² = a²

Então, a² = 2b².

Passo 3: Porque a² = 2b², a² é um número par (porque é igual ao dobro de um outro número inteiro). Isso significa que a também deve ser par, já que o quadrado de um número ímpar é ímpar. Então, deixe a = 2k para algum inteiro k.

a = 2k

Substituindo de volta, obtemos:

a² = (2k)² => a² = 4k² => 2b² = 4k² => b² = 2k²

Portanto, b² também é par, o que significa que b também será par.

Passo 4: Agora mostramos que a e b são ambos pares, o que significa que eles têm um fator comum de 2. Mas isso contradiz nossa suposição original de que a/b está na forma mais simples. Havíamos assumido que a e b não têm fator comum além de 1.

Conclusão: Nossa suposição de que √2 é racional leva a uma contradição. Portanto, a afirmação original deve ser verdadeira: a raiz quadrada de 2 é irracional.

Exemplo visual

Assumir que √2 é racional (a/b). a² = 2b² implica que a é par. a = 2k, substituindo de volta obtemos b² = 2k². b também é par, contrariando a forma mais simples.

Outro exemplo: números primos infinitos

Para ilustrar outra prova por contradição, provaremos que existem infinitos números primos. A afirmação é: "Não há maior número primo."

Passo 1: Assuma o oposto: Suponha que exista um maior número primo. Suponha que a lista de números primos seja finita e dada por p1, p2, ..., pn

Passo 2: Considere um novo número obtido multiplicando todos os números primos na lista e adicionando 1:

N = p1 × p2 × ... × pn + 1

Passo 3: O número N não é divisível por nenhum número primo na lista porque dividi-lo por qualquer um dos pi deixa um resto de 1. Portanto, N deve ou ser primo por si só, ou seus fatores primos não devem estar na lista.

Conclusão: ou N é um novo primo (não na lista), ou há outros números primos que não estão na lista. Ambos os casos contradizem a suposição de que p1, p2, ..., pn contém todos os números primos.

Dicas gerais para prova por contradição

  • Identifique o que deseja provar. Compreenda claramente qual é a afirmação ou proposição.
  • Assuma o oposto: Primeiro, hipótese de que o oposto de sua afirmação é verdadeiro.
  • Raciocínio lógico: Use passos lógicos cuidadosos para chegar a uma contradição. Cada passo deve ser razoável.
  • Revise suposições: Verifique se as suposições feitas estão levando corretamente à contradição.
  • Desenhe uma conclusão definitiva: Quando chegar a uma contradição, faça uma conclusão afirmando que a proposição original é verdadeira.

Usos comuns da prova por contradição

  • Provar números irracionais (por exemplo, √3, √5).
  • Demonstrar propriedades de números inteiros, como regras de divisibilidade.
  • Mostrar a existência (ou inexistência) de soluções em equações algébricas.
  • Estabelecer limites ou fronteiras em cálculo e análise.

Conclusão

A prova por contradição é um método elegante e eficaz que ajuda a explorar as bases da lógica matemática. Ao assumir a negação de uma afirmação e chegar ao impossível, utilizamos a estrutura lógica da matemática para confirmar a verdade. Convida os alunos a pensar criticamente e destaca a coerência lógica inerente à teoria matemática.

Praticar esta técnica dá aos alunos a oportunidade de apreciar a profundidade e a beleza do raciocínio abstrato, preparando-os para uma exploração mais profunda de temas complexos em matemática e além.


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