Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Prueba por contradicción


La prueba por contradicción es una herramienta poderosa en matemáticas. Es un método usado por los matemáticos para demostrar que una declaración es verdadera asumiendo lo contrario de esa declaración y mostrando que esta suposición lleva a algo imposible, como una contradicción.

Supongamos que tenemos una declaración P que queremos probar que es verdadera. En una prueba por contradicción, comenzamos asumiendo que P no es verdadera. A partir de ahí, encontramos una conclusión lógica que contradice lo que sabemos que es cierto. Una vez que llegamos a tal contradicción, podemos concluir que P debe ser verdadera, ya que asumir que no es verdadera nos lleva a algo imposible.

¿Por qué usamos la prueba por contradicción?

La prueba por contradicción es útil cuando una declaración es difícil de probar directamente o cuando una prueba directa no muestra claramente la verdad de una declaración. A veces, el método indirecto de asumir lo contrario proporciona un camino para descubrir verdades que no son inmediatamente visibles mediante métodos directos.

Estructura básica de la prueba por contradicción

  1. Asumir lo contrario de lo que quieres probar.
  2. Usar conclusiones lógicas para demostrar una contradicción.
  3. Concluir que la declaración original debe ser verdadera porque la suposición opuesta lleva a una contradicción.

Ejemplo: raíz cuadrada de 2

Considera esta declaración: “La raíz cuadrada de 2 es un número irracional.” ¿Cómo podemos demostrar esta declaración usando prueba por contradicción?

Paso 1: Asumir lo contrario: Asumir que √2 es un número racional. Esto significa que dos enteros a y b (con b ≠ 0) son los siguientes:

√2 = a/b

Supongamos que a/b está en su forma más simple, es decir, el máximo común divisor (MCD) de a y b es 1.

Paso 2: Cuadrar ambos lados para encontrar la raíz cuadrada.

(√2)² = (a/b)² => 2 = a²/b² => 2b² = a²

Entonces, a² = 2b².

Paso 3: Dado que a² = 2b², a² es un número par (porque es igual al doble de otro número entero). Esto significa que a también debe ser par, ya que el cuadrado de un número impar es impar. Entonces, sea a = 2k para algún entero k.

a = 2k

Sustituyendo de nuevo, obtenemos:

a² = (2k)² => a² = 4k² => 2b² = 4k² => b² = 2k²

Por lo tanto, b² también es par, lo que significa que b también será par.

Paso 4: Ahora hemos demostrado que a y b son ambos pares, lo que significa que tienen un factor común de 2. Pero esto contradice nuestra suposición original de que a/b está en su forma más simple. Habíamos asumido que a y b no tienen factores comunes que no sean 1.

Conclusión: Nuestra suposición de que √2 es racional lleva a una contradicción. Por lo tanto, la declaración original debe ser verdadera: la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Ejemplo visual

Asumir que √2 es racional (a/b). a² = 2b² implica que a es par. a = 2k, sustituyendo de nuevo obtenemos b² = 2k². b también es par, contradiciendo la forma más simple.

Otro ejemplo: números primos infinitos

Para ilustrar otra prueba por contradicción, demostraremos que hay infinitos números primos. La declaración es: "No hay un número primo más grande."

Paso 1: Asumir lo contrario: Supongamos que hay un número primo más grande. Supongamos que la lista de números primos es finita y dada por p1, p2, ..., pn

Paso 2: Considerar un nuevo número obtenido multiplicando todos los números primos de la lista y sumando 1:

N = p1 × p2 × ... × pn + 1

Paso 3: El número N no es divisible por ningún número primo de la lista porque al dividirlo por cualquiera de los pi deja un residuo de 1. Así que N debe ser primo en sí mismo, o sus factores primos no deben estar en la lista.

Conclusión: o bien N es un nuevo primo (no en la lista), o hay otros números primos que no están en la lista. Ambos casos contradicen la suposición de que p1, p2, ..., pn contiene todos los números primos.

Consejos generales para la prueba por contradicción

  • Identificar lo que quieres probar. Entender claramente cuál es la declaración o proposición.
  • Asumir lo contrario: Primero, hipótesis que lo contrario de tu declaración es verdadero.
  • Razonamiento lógico: Usa pasos lógicos cuidadosos para llegar a una contradicción. Cada paso debe ser razonable.
  • Revisar suposiciones: Verifica si las suposiciones hechas te están llevando correctamente a la contradicción.
  • Sacar una conclusión definitiva: Cuando llegues a una contradicción, saca una conclusión afirmando que la proposición original es verdadera.

Usos comunes de la prueba por contradicción

  • Probar números irracionales (por ejemplo, √3, √5).
  • Demostración de propiedades de los enteros, como reglas de divisibilidad.
  • Mostrar la existencia (o no existencia) de soluciones en ecuaciones algebraicas.
  • Establecer límites o fronteras en cálculo y análisis.

Conclusión

La prueba por contradicción es un método elegante y efectivo que ayuda a explorar los fundamentos de la lógica matemática. Al asumir la negación de una declaración y llegar a la imposibilidad, usamos la estructura lógica de las matemáticas para confirmar la verdad. Invita a los aprendices a pensar críticamente y destaca la coherencia lógica inherente en la teoría matemática.

Practicar esta técnica da a los estudiantes la oportunidad de apreciar la profundidad y belleza del razonamiento abstracto, preparándolos para una exploración más profunda en temas complejos en matemáticas y más allá.


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